2013年全国高考新课标I理科数学解析版

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2013年高考理科数学试题解析（新课标Ⅰ）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分。考试时间120分钟。
 
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷

• 选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1、已知集合A=｛x|x²－2x＞0｝，B=｛x|－＜x＜｝，则  (     )
A、A∩B=Æ         B、A∪B=R        C、B⊆A                  D、A⊆B
【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题.
【解析】A=(- ,0)∪(2,+ ), ∴A∪B=R,故选B.
2、若复数z满足 (3－4i)z＝|4＋3i |，则z的虚部为                     (      )
A、－4              （B）－              （C）4          （D）
【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.
【解析】由题知 = = = ，故z的虚部为 ，故选D.
3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是  (      )
A、简单随机抽样         B、按性别分层抽样     C、按学段分层抽样     D、系统抽样
【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题.
【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C.
4、已知双曲线 ： （ ）的离心率为 ，则 的渐近线方程为
.   .     .      .
【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.
【解析】由题知， ，即 = = ，∴ = ，∴ = ，∴ 的渐近线方程为 ，故选 .
5、运行如下程序框图，如果输入的 ，则输出s属于

.[-3,4]  .[-5,2]   .[-4,3]    .[-2,5]
【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题.
【解析】有题意知，当 时， ，当 时， ，
∴输出s属于[-3,4]，故选 .
6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为   (    )
A、cm³           B、cm³      
C、cm³          D、cm³
 
【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式，是容易题.
【解析】设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则 ，解得R=5，∴球的体积为 = ，故选A.
7、设等差数列{a_n}的前n项和为S_n， ＝－2， ＝0， ＝3，则 ＝ (    )
A、3                  B、4                C、5            D、6
【命题意图】本题主要考查等差数列的前n项和公式及通项公式，考查方程思想，是容易题.
【解析】有题意知 = =0，∴ =－ =－（ - ）=－2，
= - =3，∴ 公差 = - =1，∴3= =－ ，∴ =5，故选C.
8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
.      .  
.     .
【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，是中档题.
【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为  = ，故选 .
9、设m为正整数， 展开式的二项式系数的最大值为 ， 展开式的二项式系数的最大值为 ，若13 =7 ，则 ＝   (    )
A、5                B、6          C、7              D、8
【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题.
【解析】由题知 = ， = ，∴13 =7 ，即 = ，
解得 =6，故选B.
10、已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点。若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为    (       )
A、＋＝1              B、＋＝1              C、＋＝1       D、＋＝1
【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题，是中档题.
【解析】设 ，则 =2， =－2，
   ①                 ②
①－②得 ，
∴ = = = ，又 = = ，∴ = ，又9= = ，解得 =9， =18，∴椭圆方程为 ，故选D.
11、已知函数 = ，若| |≥ ，则 的取值范围是
.   .   .[-2,1]    .[-2,0]
【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法，是难题。
【解析】∵| |= ，∴由| |≥ 得， 且 ，
由 可得 ，则 ≥-2，排除Ａ，Ｂ，
当 =1时，易证 对 恒成立，故 =1不适合，排除C，故选D.
12、设△A_nB_nC_n的三边长分别为a_n,b_n,c_n，△A_nB_nC_n的面积为S_n，n=1,2,3,…
若b₁＞c₁，b₁＋c₁＝2a₁，a_n＋1＝a_n，b_n＋1＝，c_n＋1＝，则(   )
A、{S_n}为递减数列             B、{S_n}为递增数列           
C、{S_2n－1}为递增数列，{S_2n}为递减数列       
D、{S_2n－1}为递减数列，{S_2n}为递增数列
【命题意图】
【解析】B
 
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。
二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。
13、已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，则t=_____.
【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积，是容易题.
【解析】 = = = = =0，解得 = .
14、若数列{ }的前n项和为S_n＝ ，则数列{ }的通项公式是 =______.
【命题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第n项与其前n项和的关系，是容易题.
【解析】当 =1时， = = ，解得 =1，
当 ≥2时， = = －( )= ，即 = ，
∴{ }是首项为1，公比为－2的等比数列，∴ = .
15、设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______
【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题，是难题.
【解析】∵ = =
令 = ， ，则 = = ，
当 = ，即 = 时， 取最大值，此时 = ，∴ = = = .
16、若函数 = 的图像关于直线 =－2对称，则 的最大值是______.
【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题.
【解析】由 图像关于直线 =－2对称，则
0= = ，
0= = ，解得 =8， =15，
∴ = ，
∴ = =
=
当 ∈(－∞, )∪(－2, )时， ＞0，
当 ∈( ,－2)∪( ,+∞)时， ＜0，
∴ 在（－∞， ）单调递增，在（ ，－2）单调递减，在（－2， ）单调递增，在（ ，+∞）单调递减，故当 = 和 = 时取极大值， = =16.
 
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分12分）
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°
(1)若PB=，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA
【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式，是容易题.
【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC= ，∴∠PBA=30^o，在△PBA中，由余弦定理得 = = ，∴PA= ；
（Ⅱ）设∠PBA= ，由已知得，PB= ，在△PBA中，由正弦定理得， ，化简得， ，
∴ = ，∴ = .
18、（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=A A₁，∠BA A₁=60°.
（Ⅰ）证明AB⊥A₁C;
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB=CB=2，求直线A₁C 与平面BB₁C₁C所成角的正弦值。
【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算，考查空间想象能力、逻辑推论证能力，是容易题.
【解析】（Ⅰ）取AB中点E，连结CE， ， ，
∵AB= ， = ，∴ 是正三角形，
∴ ⊥AB，   ∵CA=CB，   ∴CE⊥AB，   ∵ =E，∴AB⊥面 ， 
∴AB⊥ ；               ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB， ⊥AB，
又∵面ABC⊥面 ，面ABC∩面 =AB，∴EC⊥面 ，∴EC⊥ ，
∴EA，EC， 两两相互垂直，以E为坐标原点， 的方向为 轴正方向，| |为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系 ，
有题设知A(1,0,0), (0, ,0),C(0,0, ),B(－1,0,0),则 =（1,0， ）, = =(－1,0, ), =(0,－ , ),         ……9分
设 = 是平面 的法向量，
则 ，即 ，可取 =（ ，1，-1），
∴ = ，
∴直线A₁C 与平面BB₁C₁C所成角的正弦值为 .       ……12分
 
19、（本小题满分12分）
一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。
【命题意图】
【解析】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB与CD互斥，
∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)= + = .…6分
（Ⅱ）X的可能取值为400,500,800，并且
P(X=400)=1- = ，P(X=500)= ，P(X=800)= = ，
∴X的分布列为

X	400	500	800
P

                                                      ……10分
EX=400× +500× +800× =506.25                  ……12分
 
(20)(本小题满分12分)
已知圆 : ,圆 : ,动圆 与 外切并且与圆 内切，圆心 的轨迹为曲线 C.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ） 是与圆 ,圆 都相切的一条直线， 与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
【命题意图】
【解析】由已知得圆 的圆心为 （-1，0）,半径 =1，圆 的圆心为 (1,0),半径 =3.
设动圆 的圆心为 （ ， ），半径为R.
（Ⅰ）∵圆 与圆 外切且与圆 内切，∴|PM|+|PN|= = =4，
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为 的椭圆(左顶点除外)，其方程为 .
（Ⅱ）对于曲线C上任意一点 （ ， ），由于|PM|-|PN|= ≤2，∴R≤2,
当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2.
∴当圆P的半径最长时，其方程为 ，
当 的倾斜角为 时，则 与 轴重合，可得|AB|= .
当 的倾斜角不为 时，由 ≠R知 不平行 轴，设 与 轴的交点为Q，则 = ，可求得Q（-4，0），∴设 ： ，由 于圆M相切得 ，解得 .
当 = 时，将 代入 并整理得 ，解得 = ，∴|AB|= = .
当 =－ 时，由图形的对称性可知|AB|= ，
综上，|AB|= 或|AB|= .
 
（21）（本小题满分共12分）
已知函数 ＝ ， ＝ ，若曲线 和曲线 都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线
（Ⅰ）求 ， ， ， 的值
（Ⅱ）若 ≥－2时， ≤ ，求 的取值范围。
【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值，考查运算求解能力及应用意识,是中档题.
【解析】（Ⅰ）由已知得 ，
而 = ， = ，∴ =4， =2， =2， =2；……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ，
设函数 = = （ ），
= = ，
有题设可得 ≥0，即 ，
令 =0得， = ， =－2，
（1）若 ，则－2＜ ≤0，∴当 时， ＜0，当 时， ＞0，即 在 单调递减，在 单调递增，故 在 = 取最小值 ，而 = = ≥0，
∴当 ≥－2时， ≥0，即 ≤ 恒成立，
(2)若 ，则 = ，
∴当 ≥－2时， ≥0，∴ 在(－2,+∞)单调递增，而 =0，
∴当 ≥－2时， ≥0，即 ≤ 恒成立，
(3)若 ，则 = = ＜0，
∴当 ≥－2时， ≤ 不可能恒成立，
综上所述， 的取值范围为[1, ].
 
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲   如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。
（Ⅰ）证明：DB=DC；
   （Ⅱ）设圆的半径为1，BC=   ，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。
【命题意图】本题主要考查几何选讲的有关知识，是容易题.
【解析】（Ⅰ）连结DE，交BC与点G.
由弦切角定理得，∠ABF=∠BCE，∵∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE，
又∵DB⊥BE，∴DE是直径，∠DCE= ，由勾股定理可得DB=DC.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠CDE=∠BDE，BD=DC，故DG是BC的中垂线，∴BG= .
设DE中点为O，连结BO，则∠BOG= ，∠ABE=∠BCE=∠CBE= ，
∴CF⊥BF，  ∴Rt△BCF的外接圆半径等于 .
 
（23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程   已知曲线C₁的参数方程为 ( 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为 。
（Ⅰ）把C₁的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C₁与C₂交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。
【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化，是容易题.
【解析】将 消去参数 ，化为普通方程 ，
即 ： ，将 代入 得，
，
∴ 的极坐标方程为 ；
（Ⅱ） 的普通方程为 ，
由 解得 或 ，∴ 与 的交点的极坐标分别为（ ）， .
 （24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数 = , = .
（Ⅰ）当 =2时，求不等式 ＜ 的解集；
（Ⅱ）设 ＞-1,且当 ∈[ ， )时， ≤ ,求 的取值范围.
【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式解法、不等式恒成立求参数范围，是容易题.
【解析】当 =-2时，不等式 ＜ 化为 ，
设函数 = ， = ，
其图像如图所示，从图像可知，当且仅当 时， ＜0，∴原不等式解集是 .
（Ⅱ）当 ∈[ ， )时， = ，不等式 ≤ 化为 ，
∴ 对 ∈[ ， )都成立，故 ，即 ≤ ，
∴ 的取值范围为（-1， ].