2013年全国高考新课标Ⅱ数学(文)解析版

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2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)
数    学  (文科)
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
 
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合 ， ，则 （     ）
（A）   （B）  （C）   （D）
【答案】C
【解析】因为 ， ,所以 ，选C.
2、 （     ）
（A）          （B）             （C）         （D）
【答案】C
【解析】 ，所以 ，选C.
3、设 满足约束条件 ，则 的最小值是（     ）
（A）            （B）           （C）           （D）
【答案】B
【解析】由z=2x-3y得3y=2x-z，即 。作出可行域如图 ,平移直线 ，由图象可知当直线 经过点B时，直线 的截距最大，此时 取得最小值，由 得 ，即 ,代入直线z=2x-3y得 ，选B.
4、 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ， ，则 的面积为（     ）
（A）        （B）       （C）       （D）
【答案】B
【解析】因为 ,所以 .由正弦定理得 ，解得 。所以三角形的面积为 .因为 ，所以 ，选B.
5、设椭圆 的左、右焦点分别为 ， 是 上的点， ， ，则 的离心率为（     ）
（A）            （B）            （C）            （D）
【答案】D
【解析】因为 ,所以 。又 ，所以 ，即椭圆的离心率为 ，选D.
6、已知 ，则 （     ）
（A）              （B）            （C）             （D）
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，选A.
7、执行右面的程序框图，如果输入的 ，那么输出的 （     ）
（A）          （B）
（C）       （D）
【答案】B
【解析】第一次循环， ；第二次循环， ；第三次循环， ，第四次循环， ，此时满足条件输出 ，选B.
8、设 ， ， ，则（     ）
（A）        （B）     （C）       （D）
【答案】D
【解析】因为 ， ，又 ，所以 最大。又 ，所以 ，即 ，所以 ，选D.
9、一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是 ， ， ， ，画该四面体三视图中的正视图时，以 平面为投影面，则得到正视图可以为（     ）

(A)                       (B)                                     (C)                      (D)
【答案】A
【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体 的直观图，以zOx平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A.
10、设抛物线 的焦点为 ，直线 过 且与 交于 ， 两点。若 ，则 的方程为（     ）
（A） 或                  （B） 或
（C） 或         （D） 或
【答案】C
【解析】抛物线y²=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则因为|AF|=3|BF|，所以x₁+1=3（x₂+1），所以x₁=3x₂+2
因为|y₁|=3|y₂|，x₁=9x₂，所以x₁=3，x₂= ，当x₁=3时， ，所以此时 ，若 ，则 ,此时 ,此时直线方程为 。若 ，则 ,此时 ,此时直线方程为 。所以 的方程是 或 ，选C.
11、已知函数 ，下列结论中错误的是（     ）
（A） ，
（B）函数 的图象是中心对称图形
（C）若 是 的极小值点，则 在区间 单调递减
（D）若 是 的极值点，则
【答案】C
【解析】若 则有 ，所以A正确。由 得 ，因为函数 的对称中心为（0,0），所以 的对称中心为 ,所以B正确。由三次函数的图象可知，若 是f(x)的极小值点，则极大值点在 的左侧，所以函数在区间（-∞, ）单调递减是错误的，D正确。选C.
12、若存在正数 使 成立，则 的取值范围是（     ）
（A）        （B）     （C）       （D）
【答案】D
【解析】因为 ，所以由 得 ，在坐标系中，作出函数 的图象，当 时， ，所以如果存在 ，使 ，则有 ，即 ，所以选D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。
 
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）从 中任意取出两个不同的数，其和为 的概率是_______。
【答案】
【解析】从5个正整中任意取出两个不同的数，有 种，若取出的两数之和等于5，则有 ，共有2个，所以取出的两数之和等于5的概率为 。
（14）已知正方形 的边长为 ， 为 的中点，则 _______。
【答案】
【解析】在正方形中， , ,所以 。
（15）已知正四棱锥 的体积为 ，底面边长为 ，则以 为球心， 为半径的球的表面积为________。
【答案】
【解析】设正四棱锥的高为 ，则 ，解得高 。则底面正方形的对角线长为 ，所以 ,所以球的表面积为 .
（16）函数 的图象向右平移 个单位后，与函数 的图象重合，则 _________。
【答案】
【解析】函数 ，向右平移 个单位，得到 ，即 向左平移 个单位得到函数 ， 向左平移 个单位，得
，即 。
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知等差数列 的公差不为零， ，且 成等比数列。
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求 ；
 
 
 
（18）如图，直三棱柱 中， ， 分别是 ， 的中点，。
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）设 ， ，求三棱锥 的体积。
 
 
 
（19）（本小题满分12分）
       经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 该产品获利润 元，未售出的产品，每 亏损 元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了 该农产品。以 （单位： ， ）表示下一个销售季度内的市场需求量， （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。
（Ⅰ）将 表示为 的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润 不少于 元的概率；
 
 
 
 
 
 
（20）(本小题满分12分)
在平面直角坐标系 中，已知圆 在 轴上截得线段长为 ，在 轴上截得线段长为 。
（Ⅰ）求圆心 的轨迹方程；
（Ⅱ）若 点到直线 的距离为 ，求圆 的方程。
 
（21）（本小题满分12分）
已知函数 。
（Ⅰ）求 的极小值和极大值；
（Ⅱ）当曲线 的切线 的斜率为负数时，求 在 轴上截距的取值范围。
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲                  
如图， 为 外接圆的切线， 的延长线交直线 于点 ， 、 分别为弦 与弦 上的点，且 ， 、 、 、 四点共圆。
（Ⅰ）证明： 是 外接圆的直径；
（Ⅱ）若 ，求过 、 、 、 四点的圆的面积与 外接圆面积的比值。                       
 
                                                        
 
（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程
已知动点 都在曲线 （ 为参数）上，对应参数分别为 与 （ ）， 为 的中点。
（Ⅰ）求 的轨迹的参数方程；
（Ⅱ）将 到坐标原点的距离 表示为 的函数，并判断 的轨迹是否过坐标原点。
 
（24）（本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲
设 均为正数，且 ，证明：
（Ⅰ） ；（Ⅱ）