2013年湖北省孝感市中考数学试卷及答案

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2013年孝感市高中阶段学校招生考试
数    学
温馨提示：
1．答题前，考生务必将自己所在县（市、区）、学校、姓名、考号填写在试卷上指定的位置．
2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效．
3．本试卷满分120分，考试时间120分钟．
一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分）
1．计算 的值是
 A．  B．  C．  D．
2．太阳的半径约为 km，把 这个数用科学记数法表示为
 A．  B．  C．  D．
3．如图， ， ．则 等于
 A．   B．  
 C．     D．                             
4．下列计算正确的是
 A．   B．  
 C．   D．
5．为了考察某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，测得苗高（单位：cm）为：
16　9　14　11　12　10　16　8　17　19
则这组数据的中位数和极差分别是
 A．13，16 B．14，11 C．12，11 D．13，11
6．下列说法正确的是
 A．平分弦的直径垂直于弦 B．半圆（或直径）所对的圆周角是直角 
 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．若两个圆有公共点，则这两个圆相交
7．使不等式x－1≥2与3x－7＜8同时成立的x的整数值是
A．3，4 B．4，5 C．3，4，5 D．不存在
8．式子 的值是
A．  B．0 C．  D．2
9．在平面直角坐标系中，已知点E(－4,2)，F(－2,－2)，以原点O为位似中心，相似比为 ，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是
A．(－2,1)  B．(－8,4)
C．(－8,4)或(8,－4)  D．(－2,1)或(2,－1)
10．由8个大小相同的正方体组成的几何体的主视图
和俯视图如图所示，则这个几何体的左视图是

 A．          B．         C．          D．
11．如图，函数 与函数 的图像相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D．则四边形ACBD的面积为
  A．2   B．4  C．6 D．8

12．如图，在△ 中， ， ．在△ 内依次作 ， ， ．则 等于
 A．   B．  C．  D．
二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将结果
    直接填写在答题卡相应位置上）
13．分解因式：      ☆      ．
14．在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从这5瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期饮料的概率为   ☆    （结果用分数表示）．
15．如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的
俯角 为30°，测得C点的俯角 为60°．则建筑物CD
的高度为   ☆   m（结果不作近似计算）．
16．用半径为10cm，圆心角为216°的扇形作一个圆锥的侧面，
则这个圆锥的高是   ☆  cm．
17．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：
 
 称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第6个五边形数是   ☆   ．
18．一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的
4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水
又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．
假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内
的水量 (单位：升)与时间 （单位：分）之间的
部分关系如图所示．那么，从关闭进水管起  ☆ 
分钟该容器内的水恰好放完．

三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共7小题，满分66分．解答写在答题卡上）
19．（本题满分6分）
先化简，再求值： ，其中 ， ．

20．（本题满分8分）
如图，已知△ 和点 ．
 （1）把△ 绕点 顺时针旋转90°得到△ ，在网格中画出△ ；（4分）
（2）用直尺和圆规作△ 的边 ， 的垂直平分线，并标出两条垂直平分线的交点 （要求保留作图痕迹，不写作法）；指出点 是△ 的内心，外心，还是重心？（4分）

21．（本题满分10分）
暑假快要到了，某市准备组织同学们分别到A，B，C，D四个地方进行夏令营活动，前往四个地方的人数如图所示．
（1）去B地参加夏令营活动人数占总人数的40%，根据统计图求去B地的人数？（4分）
（2）若一对姐弟中只能有一人参加夏令营，姐弟俩提议让父亲决定．父亲说：现有4张卡片上分别写有1，2，3，4四个整数，先让姐姐随机地抽取一张后放回，再由弟弟随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则姐姐参加，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则弟弟参加．用列表法或树形图分析这种方法对姐弟俩是否公平？（6分）
22．（本题满分10分）
在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数．
（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（4分）
（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润 最大？（6分）

23．（本题满分10分）
如图，△ 内接于⊙ ， 60°， 是⊙ 的直径，点 是 延长线上的一点，且 ．
（1）求证： 是⊙ 的切线；（5分）
（2）若 ，求⊙ 的直径．（5分）

24．（本题满分10分）
已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ．
（1）求实数 的取值范围；（4分）
（2）是否存在实数 使得 ≥ 成立？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．（6分）  

25．（本题满分12分）
如图1，正方形 的边长为1，点 在边 上， 90°，且 交正方形外角的平分线 于点 ．
（1）图1中若点 是边 的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明 ，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（3分）
（2）如图2，若点 在线段 上滑动（不与点 ， 重合）．
① 是否总成立？请给出证明；（5分）
②在如图所示的直角坐标系中，当点 滑动到某处时，点 恰好落在抛物线 上，求此时点 的坐标．（4分）
  

2013年孝感市高中阶段学校招生考试
数学参考答案及评分说明
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C C A D B A B D B D C
二、填空题
13． ；     14． ；      15． ；  
16． ；        17． ；      18． ．
三、解答题
19．解：原式=             ……………………………………… 2分
=                   
=                          ……………………………………… 4分
当 ， 时，      
原式= ．     ……………………………………… 6分
20．解：（1）△ 如图所示；　　　  …………………………………………………4分
       （2）如图所示； ……………………………… 6分
　　        点 是△ 的外心．……………… 8分

21．解：（1）设去 地的人数为 ，
　　　则由题意有：                           …………… 2分
      解得： ．
　　　∴去 地的人数为 人．　　　　　　  　                    …………… 4分
　　   （2）列表：                   
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2)
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1)
 1 2 3 4

                                                                             …………… 7分
说明： 能正确画出树形图给3分.
姐姐能参加的概率 ，弟弟能参加的概率为       …………… 9分
∵ < ，∴不公平．　　　　　　　  　            …………… 10分

22．解：（1）设 与 满足的函数关系式为： ．              …………… 1分
　　　由题意可得： 　                                …………… 2分
      解得                                               …………… 3分
    ∴ 与 的函数关系式为： ．                      …………… 4分
   （2）每天获得的利润为：
                                              …………… 6分
          
           ．                                    ……………8分
    ∴当销售价定为 元时，每天获得的利润最大．                   ……………10分

23．（1）证明：连接              …………………1分
∵ ，∴ ．   ……2分
又∵ ，∴ .        
    又∵ ，∴ ，
    ∴ ， ………………4分
    ∴ ，
    ∴ 是⊙ 的切线.             ……………… 5分
（2）在Rt△ 中，       
∵ ，
∴ ．                                      ………………7分
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
    ∴ ．
∴⊙ 的直径为 .                                           ……………10分
24．解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴   ≥                                  ……………1分
∴ ≥             
∴ ≥ ，                                                   ……………3分
∴ ≤  ．               
∴当 ≤ 时，原方程有两个实数根．　　　                      ……………4分
   （2）假设存在实数 使得 ≥ 成立．
∵ ， 是原方程的两根，
∴ ．                        ……………5分
由 ≥ ，
得 ≥ ．                                    ……………7分
∴ ≥ ，整理得： ≥ ，              
    ∴只有当 时，上式才能成立．                          ……………9分
 又由（1）知 ≤ ，
 ∴不存在实数 使得 ≥ 成立．                ……………10分

25．解：（1）如图1，取 的中点 ，连接 ．                   ……………2分
       △ 与△ 全等．　                         ……………3分
  （2）①若点 在线段 上滑动时 总成立．
 证明：如图2，在 上截取 ．…… 4分
 ∵ ，∴ ，
∴△ 是等腰直角三角形，
∴ ，
又 平分正方形的外角，∴ ，
∴ ．         ………… 6分
而 ,
∴ ，         ………… 7分
∴△ ≌△ ．
∴ ．          ………… 8分
②过点 作 轴于 ，    ………… 9分
由①知， ，
设 ，则 ，
∴点 的坐标为 ． ……… 10分
∵点 恰好落在抛物线 上，
∴ ，
∴ ， （负值不合题意，舍去），
∴ ． 
∴点 的坐标为 ．…………… 12分
注意：1．按照评分标准分步评分，不得随意变更给分点；
2．第19题至第25题的其它解法，只要思路清晰，解法正确，都应按步骤给予相应分数．