2013年广东省珠海市中考数学试卷及答案解析flash版

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2013年广东省珠海市中考数学试卷
一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑
1．（3分）（2013•珠海）实数4的算术平方根是（　　）
　 A． ﹣2 B． 2 C． ±2 D． ±4
　
2．（3分）（2013•珠海）如图两平行线a、b被直线l所截，且∠1=60°，则∠2的度数为（　　）
 
　 A． 30° B． 45° C． 60° D． 120°
　
3．（3分）（2013•珠海）点（3，2）关于x轴的对称点为（　　）
　 A． （3，﹣2） B． （﹣3，2） C． （﹣3，﹣2） D． （2，﹣3）
　
4．（3分）（2013•珠海）已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2﹣2x﹣3=0．下列说法正确的是（　　）
　 A． ①②都有实数解 B． ①无实数解，②有实数解
　 C． ①有实数解，②无实数解 D． ①②都无实数解
　
5．（3分）（2013•珠海）如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（　　）
 
　 A． 36° B． 46° C． 27° D． 63°
　
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）请将行李各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上。
6．（4分）（2013•珠海）使式子 有意义的x的取值范围是　_________　．
　
7．（4分）（2013•珠海）已知，函数y=3x的图象经过点A（﹣1，y1），点B（﹣2，y2），则y1　_________　y2（填“＞”“＜”或“=”）
　
8．（4分）（2013•珠海）若圆锥的母线长为5cm，地面半径为3cm，则它的测面展开图的面积为　_________　cm2（结果保留π）
　
9．（4分）（2013•珠海）已知a、b满足a+b=3，ab=2，则a2+b2=　_________　．
　
10．（4分）（2013•珠海）如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2…，以此类推，则第六个正方形A6B6C6D6周长是　_________　．

三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分）
11．（6分）（2013•珠海）计算： ﹣（ ）0+| |
　
12．（6分）（2013•珠海）解方程： ．
　
13．（6分）（2013•珠海）某初中学校对全校学生进行一次“勤洗手”的问卷调查，学校七、八、九三个年级学生人数分别为600人、700人、600人，经过数据整理将全校的“勤洗手”调查数据绘制成统计图．
（1）根据统计图，计算八年级“勤洗手”学生人数，并补全下列两幅统计图．
（2）通过计算说明那个年级“勤洗手”学生人数占本年级学生人数的比例最大？
　
14．（6分）（2013•珠海）如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；
求证：BC=DC．

　
15．（6分）（2013•珠海）某渔船出海捕鱼，2010年平均每次捕鱼量为10吨，2012年平均每次捕鱼量为8.1吨，求2010年﹣2012年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率．
　
四、解答题（二））（本大题4小题，每小题7分，共28分）
16．（7分）（2013•珠海）一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，如图所示，他先在点B测得山顶点A的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°（B、C、D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度AC（结果精确的1米，参考数值： ）
 
　
17．（7分）（2013•珠海）如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）求∠B的度数．

　
18．（7分）（2013•珠海）把分别标有数字2、3、4、5的四个小球放入A袋内，把分别标有数字 、 、 、 、 的五个小球放入B袋内，所有小球的形状、大小、质地完全相同，A、B两个袋子不透明、
（1）小明分别从A、B两个袋子中各摸出一个小球，求这两个小球上的数字互为倒数的概率；
（2）当B袋中标有 的小球上的数字变为　_________　时（填写所有结果），（1）中的概率为 ．
　
19．（7分）（2013•珠海）已知，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，OA=OB，函数y= 的图象与线段AB交于M点，且AM=BM．
（1）求点M的坐标；
（2）求直线AB的解析式．

　
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20．（9分）（2013•珠海）阅读下面材料，并解答问题．
材料：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b
则﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4﹣ax2+x2+a+b=﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b）
∵对应任意x，上述等式均成立，∴ ，∴a=2，b=1
∴ = =x2+2+
这样，分式 被拆分成了一个整式x2+2与一个分式 的和．
解答：
（1）将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
（2）试说明 的最小值为8．
　
21．（9分）（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．
（1）求证：∠CBP=∠ABP；
（2）求证：AE=CP；
（3）当 ，BP′=5 时，求线段AB的长．
 
　
22．（9分）（2013•珠海）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，且长分别为m、4m（m＞0），D为边AB的中点，一抛物线l经过点A、D及点M（﹣1，﹣1﹣m）．
（1）求抛物线l的解析式（用含m的式子表示）；
（2）把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E，若抛物线l与线段CE相交，求实数m的取值范围；
（3）在满足（2）的条件下，求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标．
 

2013年广东省珠海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑
1．（3分）（2013•珠海）实数4的算术平方根是（　B　）
　 A． ﹣2 B． 2 C． ±2 D． ±4
2．（3分）（2013•珠海）如图两平行线a、b被直线l所截，且∠1=60°，则∠2的度数为（　C　）
 
　 A． 30° B． 45° C． 60° D． 120°
3．（3分）（2013•珠海）点（3，2）关于x轴的对称点为（　A　）
　 A． （3，﹣2） B． （﹣3，2） C． （﹣3，﹣2） D． （2，﹣3）

4．（3分）（2013•珠海）已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2﹣2x﹣3=0．下列说法正确的是（　B　）
　 A． ①②都有实数解 B． ①无实数解，②有实数解
　 C． ①有实数解，②无实数解 D． ①②都无实数解

5．（3分）（2013•珠海）如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（　A　）
 
　 A． 36° B． 46° C． 27° D． 63°

二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）请将行李各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上。
6．（4分）（2013•珠海）使式子 有意义的x的取值范围是　x≥﹣ 　．
7．（4分）（2013•珠海）已知，函数y=3x的图象经过点A（﹣1，y1），点B（﹣2，y2），则y1　＞　y2（填“＞”“＜”或“=”）
8．（4分）（2013•珠海）若圆锥的母线长为5cm，地面半径为3cm，则它的测面展开图的面积为　15π　cm2（结果保留π）

9．（4分）（2013•珠海）已知a、b满足a+b=3，ab=2，则a2+b2=　5　．

10．（4分）（2013•珠海）如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2…，以此类推，则第六个正方形A6B6C6D6周长是　 　．
 

三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分）
11．（6分）（2013•珠海）计算： ﹣（ ）0+| |

解答： 解：原式=3﹣1+ ﹣
= ．
12．（6分）（2013•珠海）解方程： ．
解答： 解：去分母得：x（x+2）﹣1=x2﹣4，
去括号得：x2+2x﹣1=x2﹣4，
解得：x=﹣ ，
经检验x=﹣ 是分式方程的解．
13．（6分）（2013•珠海）某初中学校对全校学生进行一次“勤洗手”的问卷调查，学校七、八、九三个年级学生人数分别为600人、700人、600人，经过数据整理将全校的“勤洗手”调查数据绘制成统计图．
（1）根据统计图，计算八年级“勤洗手”学生人数，并补全下列两幅统计图．
（2）通过计算说明那个年级“勤洗手”学生人数占本年级学生人数的比例最大？

分析： （1）由七年级“勤洗手”的人数除以所占的百分比，求出全校“勤洗手”的人数，进而求出八年级“勤洗手”的人数，补全条形统计图；求出九年级“勤洗手”人数所占的百分比，补全扇形统计图即可；
（2）求出三个年级“勤洗手”人数所占的百分比，比较大小即可．
解答： 解：（1）根据题意得：300÷25%=1200（人），
则八年级“勤洗手”人数为1200×35%=420（人），
 

（2）七年级“勤洗手”学生人数占本年级学生人数的比例为 ×100%=50%；
八年级“勤洗手”学生人数占本年级学生人数的比例为 ×100%=60%；
九年级“勤洗手”学生人数占本年级学生人数的比例为 ×100%=80%，
则九年级“勤洗手”学生人数占本年级学生人数的比例最大．
14．（6分）（2013•珠海）如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；
求证：BC=DC．
解答： 证明：∵∠BCE=∠DCA，
∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE，
即∠ACB=∠ECD，
在△ABC和△EDC中， ，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴BC=DC．
　
15．（6分）（2013•珠海）某渔船出海捕鱼，2010年平均每次捕鱼量为10吨，2012年平均每次捕鱼量为8.1吨，求2010年﹣2012年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率．

解答： 解：设2010年﹣2012年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率x，根据题意列方程得，
10×（1﹣x）2=8.1，
解得x1=0.1，x2=﹣1.9（不合题意，舍去）．
答：2010年﹣2012年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率为10%．
四、解答题（二））（本大题4小题，每小题7分，共28分）
16．（7分）（2013•珠海）一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，如图所示，他先在点B测得山顶点A的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°（B、C、D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度AC（结果精确的1米，参考数值： ）

解答： 解：∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=60°﹣30°=30°，
∴∠B=∠BAD，
∴AD=BD=62（米）．
在直角△ACD中，AC=AD•sin∠ADC=62× =31 ≈31×1.7=52.7≈53（米）．
答：小岛的高度是53米．
　
17．（7分）（2013•珠海）如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）求∠B的度数．
解答： （1）证明：连结OA、OB、OC、BD，如图，
∵AB与⊙切于A点，
∴OA⊥AB，即∠OAB=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BA=BC，
在△ABC和△CBO中
 ，
∴△ABC≌△CBO，
∴∠BOC=∠OAC=90°，
∴OC⊥BC，
∴BC为⊙O的切线；

（2）解：∵△ABC≌△CBO，
∴∠AOB=∠COB，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD平分∠ABC，CB=CD，
∴点O在BD上，
∵∠BOC=∠ODC+∠OCD，
而OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠BOC=2∠ODC，
而CB=CD，
∴∠OBC=∠ODC，
∴∠BOC=2∠OBC，
∵∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠OBC=30°，
∴∠ABC=2∠OBC=60°．
 
18．（7分）（2013•珠海）把分别标有数字2、3、4、5的四个小球放入A袋内，把分别标有数字 、 、 、 、 的五个小球放入B袋内，所有小球的形状、大小、质地完全相同，A、B两个袋子不透明、
（1）小明分别从A、B两个袋子中各摸出一个小球，求这两个小球上的数字互为倒数的概率；
（2）当B袋中标有 的小球上的数字变为　 、 、 、 　时（填写所有结果），（1）中的概率为 ．
解答： 解：（1）画树状图得：
 
∵共有20种等可能的结果，这两个小球上的数字互为倒数的有4种情况，
∴这两个小球上的数字互为倒数的概率为： = ；
（2）∵当B袋中标有 的小球上的数字变为 、 、 、 时（填写所有结果），
∴这两个小球上的数字互为倒数的有5种情况，
∴这两个小球上的数字互为倒数的概率为： = ．
故答案为： 、 、 、 ．
19．（7分）（2013•珠海）已知，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，OA=OB，函数y= 的图象与线段AB交于M点，且AM=BM．
（1）求点M的坐标；
（2）求直线AB的解析式．

解答： 解：（1）过点M作MC⊥x轴，MD⊥y轴，
∵AM=BM，
∴点M为AB的中点，
∵MC⊥x轴，MD⊥y轴，
∴MC∥OB，MD∥OA，
∴点C和点D分别为OA与OB的中点，
∴MC=MD，
则点M的坐标可以表示为（﹣a，a），
把M（﹣a，a）代入函数y= 中，
解得a=2 ，
则点M的坐标为（﹣2 ，2 ）；

（2）∵则点M的坐标为（﹣2 ，2 ），
∴MC=2 ，MD=2 ，
∴OA=OB=2MC=4 ，
∴A（﹣4 ，0），B（0，4 ），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把点A（﹣4 ，0）和B（0，4 ）分别代入y=kx+b中得 ，
解得： ．
则直线AB的解析式为y=x+4 ．
 
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20．（9分）（2013•珠海）阅读下面材料，并解答问题．
材料：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b
则﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4﹣ax2+x2+a+b=﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b）
∵对应任意x，上述等式均成立，∴ ，∴a=2，b=1
∴ = =x2+2+
这样，分式 被拆分成了一个整式x2+2与一个分式 的和．
解答：
（1）将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
（2）试说明 的最小值为8．

解答： 解：（1）由分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣6x2+8=（﹣x2+1）（x2+a）+b
则﹣x4﹣6x2+8=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4﹣ax2+x2+a+b=﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b）
∵对应任意x，上述等式均成立，
∴ ，
∴a=7，b=1，
∴ = = =x2+7+
这样，分式 被拆分成了一个整式x2+7与一个分式 的和．

（2）由 =x2+7+ 知，
对于x2+7+ 当x=0时，这两个式子的和有最小值，最小值为8，
即 的最小值为8．
21．（9分）（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．
（1）求证：∠CBP=∠ABP；
（2）求证：AE=CP；
（3）当 ，BP′=5 时，求线段AB的长．
解答： （1）证明：∵AP′是AP旋转得到，
∴AP=AP′，
∴∠APP′=∠AP′P，
∵∠C=90°，AP′⊥AB，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，
又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），
∴∠CBP=∠ABP；

（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，
∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，
∴CP=DP，
∵P′E⊥AC，
∴∠EAP′+∠AP′E=90°，
又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E，
在△APD和△P′AE中， ，
∴△APD≌△P′AE（AAS），
∴AE=DP，
∴AE=CP；

（3）解：∵ = ，
∴设CP=3k，PE=2k，
则AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k，
在Rt△AEP′中，P′E= =4k，
∵∠C=90°，P′E⊥AC，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠P′PE=90°，
∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等），
∴∠CBP=∠P′PE，
又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，
∴△ABP′∽△EPP′，
∴ = ，
即 = ，
解得P′A= AB，
在Rt△ABP′中，AB2+P′A2=BP′2，
即AB2+ AB2=（5 ）2，
解得AB=10．
 
22．（9分）（2013•珠海）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，且长分别为m、4m（m＞0），D为边AB的中点，一抛物线l经过点A、D及点M（﹣1，﹣1﹣m）．
（1）求抛物线l的解析式（用含m的式子表示）；
（2）把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E，若抛物线l与线段CE相交，求实数m的取值范围；
（3）在满足（2）的条件下，求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标．

解答： 解：（1）设抛物线l的解析式为y=ax2+bx+c，
将A（0，m），D（2m，m），M（﹣1，﹣1﹣m）三点的坐标代入，
得 ，解得 ，
所以抛物线l的解析式为y=﹣x2+2mx+m；

（2）设AD与x轴交于点M，过点A′作A′N⊥x轴于点N．
∵把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，
∴△OAD≌△OA′D，OA=OA′=m，AD=A′D=2m，∠OAD=∠OA′D=90°，∠ADO=∠A′DO，
∵矩形OABC中，AD∥OC，
∴∠ADO=∠DOM，
∴∠A′DO=∠DOM，
∴DM=OM．
设DM=OM=x，则A′M=2m﹣x，
在Rt△OA′M中，∵OA′2+A′M2=OM2，
∴m2+（2m﹣x）2=x2，
解得x= m．
∵S△OA′M= OM•A′N= OA′•A′M，
∴A′N= = m，
∴ON= = m，
∴A′点坐标为（ m，﹣ m），
易求直线OA′的解析式为y=﹣ x，
当x=4m时，y=﹣ ×4m=﹣3m，
∴E点坐标为（4m，﹣3m）．
当x=4m时，﹣x2+2mx+m=﹣（4m）2+2m•4m+m=﹣8m2+m，
即抛物线l与直线CE的交点为（4m，﹣8m2+m），
∵抛物线l与线段CE相交，
∴﹣3m≤﹣8m2+m≤0，
∵m＞0，
∴﹣3≤﹣8m+1≤0，
解得 ≤m≤ ；

（3）∵y=﹣x2+2mx+m=﹣（x﹣m）2+m2+m， ≤m≤ ，
∴当x=m时，y有最大值m2+m，
又∵m2+m=（m+ ）2﹣ ，
∴当 ≤m≤ 时，m2+m随m的增大而增大，
∴当m= 时，顶点P到达最高位置，m2+m=（ ）2+ = ，
故此时抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标为（ ， ）．