2013年江苏省南京市中考数学试卷及答案解析flash版

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南京市2013年初中毕业生学业考试
数     学

注意事项：
1. 本试卷共6页。全卷满分120分。考试时间为120分钟。考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效。
2. 请认真核对监考教师在答题卡上所黏贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。
3. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，
  再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，
  在其他位置答题一律无效。
4. 作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
一、 选择题 (本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰
     有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1. 计算127(4)8(2)的结果是
 (A) 24  (B) 20  (C) 6  (D) 36
答案：D
解析：原式＝12＋28－4＝36，选D。
2. 计算a3．(  1  a  )2的结果是 
(A) a  (B) a5  (C) a6  (D) a9
答案：A
解析：原式＝ ，选A。
3. 设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法： a是无理数； a可以用数轴上的一个点来表示； 3<a<4；  a是18的算术平方根。其中，所有正确说法的序号是
   (A)   (B)   (C)   (D) 
答案：C
解析：由勾股定理，得：  ，所以，③错误，其它都正确。
4. 如图，圆O1、圆O2的圆心O1、O2在直线l上，圆O1的半径为2 cm，圆O2的半径为3 cm，O1O2=8 cm。圆O1以1 cm/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动，在此过程中，圆O1与圆O2没有出现的位置关系是
 (A) 外切  (B) 相交  (C) 内切  (D) 内含
答案：D
解析：7s后两圆刚好内切，所以，外切、相交、内切都有，没有内含，选D。
5. 在同一直线坐标系中，若正比例函数y=k1x的图像与反比例函数y=  k2  x 的图像没有公共点，则
(A) k1k2<0  (B) k1k2>0  (C) k1k2<0  (D) k1k2>0
答案：C
解析：当k1>0，k2<0时，正比函数经过一、三象限，反比函数在二、四象限，没有交点；当k1＜0，k2＞0时，正比函数经过二、四象限，反比函数在一、三象限，没有交点；所以，选C。
6. 如图，一个几何体上半部为正四棱椎，下半部为立方体，且有一个面涂
   有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是
 
答案：B
解析：涂有颜色的面在侧面，而A、C还原后，有颜色的面在底面，故错；D还原不回去，故错，选B。
二、填空题 (本大题共10小题，每小题2分，共20分)
7. 3的相反数是      ；3的倒数是      。
答案：3； 1  3
解析：负数的相反数为正数，绝对值相等，一个数的倒数是将原数分子与分母对换位置。
8. 计算  3  2     1  2   的结果是      。
答案：2
解析：原式＝
9. 使式子1  1  x1 有意义的x的取值范围是      。
答案：x1
解析：当x＝1时，分母为0没有意义，故x1
10. 第二届亚洲青年运动会将于2013年8月16日至24日在南京举办，在此期间约有13000
   名青少年志愿者提供服务，将13000用科学记数法表示为      。
答案：1.3104
解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
13000＝1.3104
11. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A’B’C’D’的位置，
   旋转角为 (0<<90)。若1=110，则=      。
答案：20
解析： ，延长 交CD于E，则 =20， ED=160，由四边形的内角和为360，可得=20

12. 如图，将菱形纸片ABCD折迭，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF。若菱形ABCD的边长为2 cm， A=120，则EF=      cm。
 
答案：3
解析：点A恰好落在菱形的对称中心O处，如图，P为AO中点，所以E为A职点，AE＝1，EAO=60，EP＝ ，所以，EF＝3
 
13. △OAB是以正多边形相邻的两个顶点A、B与它的中心O为顶点的三角形。若△OAB的   一个内角为70，则该正多边形的边数为      。
答案：9
解析：若∠OAB＝∠OBA＝70°，则∠BOA＝40°，边数为： ＝9；
若∠BOA＝70°，则边数为： 不可能，因此，边数为9。
14. 已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出
   方程：      。
答案：本题答案不唯一，如(x1)2=25；
解析：把缺口补回去，得到一个面积25的正方形，边长为x＋1。
15. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，AC与BD相交
   于点P。已知A(2, 3)，B(1, 1)，D(4, 3)，则点P的坐标为（   ，   ）。
答案：3；  7  3
解析：如图，由对称性可知P的横坐标为3，
 ，即 ，所以，PE＝ ， ＋1＝ 7  3
故P的坐标为（3， 7  3 ）。
16. 计算(1 1  2  1  3  1  4  1  5 )( 1  2  1  3  1  4  1  5  1  6 )(1 1  2  1  3  1  4  1  5  1  6 )( 1  2  1  3  1  4  1  5 )的结果是      。
答案： 1  6
解析：设x＝ 1  2  1  3  1  4  1  5 ，则原式＝（1－x）（x＋ ）－（1－x－ ）x＝
三、解答题 (本大题共11小题，共88分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
   说明、证明过程或演算步骤)
17. (6分) 化简( 1  ab    b  a2b2 )  a  ab 。
解析：   解：( 1  ab    b  a2b2 )  a  ab  =  (ab)b  (ab)(ab) ． ab  a  =  a  (ab)(ab) ． ab  a  =  1  ab 。

18. (6分) 解方程 2x  x2  =1  1  2x 。
解析：方程两边同乘x2，得2x=x21。解这个方程，得x= 1。
       检验：x= 1时，x20，x= 1是原方程的解。   (6分)

19. (8分) 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分
   ABC，P是BD上一点，过点P作PMAD，PNCD，垂
   足分别为M、N。
   (1) 求证：ADB=CDB；
   (2) 若ADC=90，求证：四边形MPND是正方形。
解析：
   证明：(1) ∵BD平分ABC，∴ABD=CBD。又∵BA=BC，BD=BD，
            ∴△ABD  △CBD。∴ADB=CDB。  (4分)
         (2) ∵PMAD，PNCD，∴PMD=PND=90。
            又∵ADC=90，∴四边形MPND是矩形。
            ∵ADB=CDB，PMAD，PNCD，∴PM=PN。
            ∴四边形MPND是正方形。  (8分)
 20. (8分)
   (1) 一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个，这些球除颜色外都相同。求下列事件的概率：
       搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；
       搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是红球；
   (2) 某次考试有6道选择题，每道题所给出的4个选项中，恰有一项是正确的，如果小明从每道题的4个选项中随机地选择1个，那么他6道选择题全部选择正确的概率是
      (A)  1  4   (B) ( 1  4 )6  (C) 1( 1  4 )6  (D) 1( 3  4 )6
解析：  (1) 解： 搅匀后从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果有：红、黄、蓝、白，共有4种，它们出现的可能性相同。所有的结果中，满足“恰好是红球”(记为事件             A)的结果只有1种，所以P(A)=  1  4 。
           搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果有：(红，红)、(红，黄)、(红，蓝)、(红，白)、
             (黄，红)、(黄，黄)、(黄，蓝)、(黄，白)、(蓝，红)、(蓝，黄)、(蓝，蓝)、(蓝，
             白)、(白，红)、(白，黄)、(白，蓝)、(白，白)，共有16种，它们出现的可能
             性相同。所有的结果中，满足“两次都是红球”(记为事件B)的结果只有1种，
             所以P(B)=  1  16 。  (6分)
   (2) B (8分)
21. (9分) 某校有2000名学生，为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组在全校随机
   抽取了150名学生进行抽样调查。整体样本数据，得到下列图表：

   (1) 理解画线语句的含义，回答问题：如果150名学生全部在同一个年级抽取，这样的抽样是否合理？请说明理由：
   (2) 根据抽样调查的结果，将估计出的全校2000名学生上学方式的情况绘制成条形统计
      图；
 

   (3) 该校数学兴趣小组结合调查获取的信息，向学校提出了一些建议。如：骑车上学的学生数约占全校的34%，建议学校合理安排自行车停车场地。请你结合上述统计的全过程，再提出一条合理化建议：      。
解析：解：(1) 不合理。因为如果150名学生全部在同一个年级抽取，那么全校每个学生被抽到
          的机会不相等，样本不具有代表性。  (2分)

   (3) 本题答案不唯一，下列解法供参考。
      乘私家车上学的学生约400人，建议学校与交通部门协商安排停车区域。  (9分)
22. (8分) 已知不等臂跷跷板AB长4m。如图，当AB的一端碰到地面时，AB与地面的夹
   角为；如图，当AB的另一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为。求跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH。(用含、的式子表示)

解析：解：在Rt△AHO中，sin=  OH  OA ，∴OA=  OH  sin 。 在Rt△BHO中，sin=  OH  OB ，∴OB=  OH  sin 。
       ∵AB=4，∴OAOB=4，即 OH  sin    OH  sin  =4。∴OH=  4sinsin  sinsin  (m)。  (8分)

23. (8分) 某商场促销方案规定：商场内所有商品案标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额。
消费金额(元) 300~400 400~500 500~600 600~700 700~900 …
返还金额(元) 30 60 100 130 150 …
   注：300~400表示消费金额大于300元且小于或等于400元，其他类同。
   根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如，若购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400(180%)30=110(元)。
   (1) 购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？
   (2) 如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为多少元？
解析：解：(1) 购买一件标价为1000元的商品，消费金额为800元，
          顾客获得的优惠额为1000(180%)150=350(元)。  (2分)
       (2) 设该商品的标价为x元。
          当80%x500，即x625时，顾客获得的优惠额不超过625(180%)60=185<226；
          当500<80%x600，即625x750时，(180%)x100226。解得x630。
          所以630x750。
          当600<80%x80080%，即750<x800时，
          顾客获得的优货额大于750(180%)130=280>226。
          综上，顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优或额不少于226元，
          那么该商品的标价至少为630元。  (8分)

24. (8分) 小丽驾车从甲地到乙地。设她出发第x min时的速度为y km/h，图中的折线表示她在整个驾车过程中y与x之间的函数关系。
   (1) 小丽驾车的最高速度是      km/h；
   (2) 当20x30时，求y与x之间的函数关系式，并求出小丽出发第22 min时的速度；
   (3) 如果汽车每行驶100 km耗油10 L，那么小丽驾车从甲地到乙地共耗油多少升？

解析：解：(1) 60；(1分)
       (2) 当20x30时，设y与x之间的函数关系式为y=kxb。
          根据题意，当x=20时，y=60；当x=30时，y=24。
          所以60=20kb24=30kb，解得k= 3.6b=132。所以，y与x之间的函数关系式为y= 3.6x132。
          当x=22时，y= 3.622132=52.8。
          所以，小丽出发第22min时的速度为52.8km/h。(5分)
       (3) 小丽驾车从甲地到乙地行驶的路程为
           012  2  5  60  1260  2  5  60 60 10  60  6024  2  10  60  2448  2  5  60 48 10  60  480  2  5  60 =33.5(km)。
          所以，小丽驾车从甲地到乙地共耗油33.5 10  100 =3.35(L)   (8分)

25. (8分) 如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O
   的弦。过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过
   点C作CD//AB，交AD于点D。连接AO并延长交BC
   于点M，交过点C的直线于点P，且BCP=ACD。
   (1) 判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由：
   (2) 若AB=9，BC=6，求PC的长。
解析：  解法一：(1) 直线PC与圆O相切。
              如图，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN。
              ∵AB//CD，∴BAC=ACD。
              ∵BAC=BNC，∴BNC=ACD。
              ∵BCP=ACD，∴BNC=BCP。
              ∵CN是圆O的直径，∴CBN=90。
              ∴BNCBCN=90，∴BCPBCN=90。
              ∴PCO=90，即PCOC。
              又点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。 (4分)
   
           (2) ∵AD是圆O的切线，∴ADOA，即OAD=90。
              ∵BC//AD，∴OMC=180OAD=90，即OMBC。
              ∴MC=MB。∴AB=AC。
              在Rt△AMC中，AMC=90，AC=AB=9，MC=  1  2 BC=3，
              由勾股定理，得AM=AC 2MC 2 =9232 =62 。
              设圆O的半径为r。
              在Rt△OMC中，OMC=90，OM=AMAO=62 r，MC=3，OC=r，
              由勾股定理，得OM 2MC 2=OC 2，即(62 r)232=r2。解得r=  27  8 2 。
              在△OMC和△OCP中，
              ∵OMC=OCP，MOC=COP，
              ∴△OMC～△OCP。∴ OM  OC  =  CM  PC ，即 62   27  8 2    27  8 2   =  3  PC 。
              ∴PC=  27  7 。(8分)
   解法二：(1) 直线PC与圆O相切。如图，连接OC。
              ∵AD是圆O的切线，∴ADOA，
              即OAD=90。
              ∵BC//AD，∴OMC=180OAD=90，
              即OMBC。
              ∴MC=MB。∴AB=AC。∴MAB=MAC。
              ∴BAC=2MAC。又∵MOC=2MAC，∴MOC=BAC。
              ∵AB//CD，∴BAC=ACD。∴MOC=ACD。又∵BCP=ACD，
              ∴MOC=BCP。∵MOCOCM=90，∴BCPOCM=90。
              ∴PCO=90，即PCOC。又∵点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。
           (2) 在Rt△AMC中，AMC=90，AC=AB=9，MC=  1  2 BC=3，
              由勾股定理，得AM=AC 2MC 2 =9232 =62 。
              设圆O的半径为r。
              在Rt△OMC中，OMC=90，OM=AMAO=62 r，MC=3，OC=r，
              由勾股定理，得OM 2MC 2=OC 2，即(62 r)232=r2。解得r=  27  8 2 。
              在△OMC和△OCP中，∵OMC=OCP，MOC=COP，
              ∴△OMC～△OCP，∴ OM  OC  =  CM  PC ，即 62   27  8 2    27  8 2   =  3  PC 。
              ∴PC=  27  7 。(8分)

26. (9分) 已知二次函数y=a(xm)2a(xm) (a、m为常数，且a0)。
   (1) 求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；
   (2) 设该函数的图像的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D。
       当△ABC的面积等于1时，求a的值：
       当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值。
解析：  (1) 证明：y=a(xm)2a(xm)=ax2(2ama)xam2am。
            因为当a0时，[(2ama)]24a(am2am)=a2>0。
            所以，方程ax2(2ama)xam2am=0有两个不相等的实数根。
            所以，不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点。(3分)
   (2) 解： y=a(xm)2a(xm)=(x  2m1  2 )2  a  4 ，
            所以，点C的坐标为( 2m1  2 ,  a  4 )。
            当y=0时，a(xm)2a(xm)=0。解得x1=m，x2=m1。所以AB=1。
            当△ABC的面积等于1时， 1  2 1|  a  4  |=1。
            所以 1  2 1(  a  4 )=1，或 1  2 1 a  4 =1。
            所以a= 8，或a=8。
           当x=0时，y=am2am，所以点D的坐标为(0, am2am)。
            当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，
             1  2 1|  a  4  |=  1  2 1| am2am |。
            所以 1  2 1(  a  4 )=  1  2 1(am2am)，或 1  2 1 a  4  =  1  2 1(am2am)。
            所以m=   1  2 ，或m=  12   2 ，或m=  12   2 。  (9分)

27. (10分) 对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个
   三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为
   逆相似。例如，如图，△ABC～△A’B’C’且沿周界ABCA与A’B’C’A’环绕的方向相同，
   因此△ABC 与△A’B’C’互为顺相似；如图，△ABC～△A’B’C’，且沿周界ABCA与
   A’B’C’A’环绕的方向相反，因此△ABC 与△A’B’C’互为逆相似。

   (1) 根据图I、图II和图III满足的条件，可得下列三对相似三角形： △ADE与△ABC；
       △GHO与△KFO； △NQP与△NMQ。其中，互为顺相似的是      ；互为逆相似的是      。(填写所有符合要求的序号)
   (2) 如图，在锐角△ABC中，A<B<C，点P在△ABC的边上(不与点A、B、C重
      合)。过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似。请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明
      理由。

    
解析：

   (1) ； (4分)
   (2) 解：根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况。
      第一种情况：如图，点P在BC(不含点B、C)上，过点P只能画出2条截线PQ1、
      PQ2，分别使CPQ1=A，BPQ2=A，此时△PQ1C、△PBQ2都与△ABC互为逆相似。
      第二种情况：如图，点P在AC(不含点A、C)上，过点B作CBM=A，BM交AC
      于点M。
      当点P在AM(不含点M)上时，过点P1只能画出1条截线P1Q，使AP1Q=ABC，此
      时△AP1Q与△ABC互为逆相似；
      当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使AP2Q1=ABC，
      CP2Q2=ABC，此时△AP2Q1、△Q2P2C都与△ABC互为逆相似。

      第三种情况：如图，点P在AB(不含点A、B)上，过点C作BCD=A，ACE=B，
      CD、CE分别交AC于点D、E。
      当点P在AD(不含点D)上时，过点P只能画出1条截线P1Q，使AP1Q=ABC，此时
      △AQP1与△ABC互为逆相似；
      当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使AP2Q1=ACB，
      BP2Q2=BCA，此时△AQ1P2、△Q2BP2都与△ABC互为逆相似；
      当点P在BE(不含点E)上时，过点P3只能画出1条截线P3Q’，使BP3Q’=BCA，
      此时△Q’BP3与△ABC互为逆相似。 (10分)