2013年全国初中数学九年级竞赛预赛试题及答案flash版

作者：deadmin 来源：未知发布时间：2013-10-14 阅读次数：

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中国教育学会中学数学教学专业委员会
2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题

（本卷满分120分，考试时间120 分钟）

一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分．
1. 从长度是2cm，2cm，4cm，4cm的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（　　）
A．                        B．                     C．                    D．1
2．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN
于N，且AB=10，BC=15，MN=3，则△ABC的周长为（    ）
A．38                B．39            C．40            D. 41
3．已知，且有，，则的值等于（    ）
A．                 B．                C．         D．
4．已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边
为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴
影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图
中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（　）
A．6                         B. 7            C．8                   D．9
5．设，，是△ABC的三边长，二次函数在时取最小值，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形      B．锐角三角形   C．钝角三角形     D．直角三角形
6．计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取
出按照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2个连续存储单元
已依次存入数据，，取出数据的顺序是，；堆栈（2）的3个
连续存储单元已依次存入数据，，，取出数据的顺序是，，
，现在要从这两个堆栈中取出5个数据（每次取出1个数据），则不
同顺序的取法的种数有（    ）
A．5种           B．6种          C．10种         D．12种
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7．若，则满足该方程的所有根之和为          .
8．（人教版考生做）如图A，在 ABCD中，过A，B，C三点的圆交AD于E，且与CD相切，若AB=4，BE=5，则DE的长为       ．
8．（北师大版考生做）如图B，等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的两个动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则            ．
9．已知，且，则           ．
10．元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有             件．
11．如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成，∠A= ，CD=4m，BC= m，则电线杆AB的长为                m．
12．实数与，使得，，，四个数中的三个有相同的数值，则所有具有这样性质的数对为                     ．

三、解答题（本大题共3个小题，每小题20分，共60分）
13.（本题满分20分）
已知：是完全平方式．
求证：．

14.（本题满分20分）如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M，N以每秒１个单位的速度分别从点A，C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．
（1）点B的坐标为　           ；用含t的式子表示点P的坐标为              ；
（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求t为何值时，S有最大值？
（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

15.（本题满分20分）
对于给定的抛物线，使实数，适合于 .
（1）证明：抛物线通过定点；
（2）证明：下列两个二次方程，与中至少有一个方程有实数根.

2013年九年级试卷参考答案

一、选择题（每小题5分，共30分）1—6 C D B A D C
二、填空题（每小题5分，共30分）：
7. ；   8. A：；B：　；   9. 4；   10. 12；   11. ； 12.   .
三、解答题：（每题20分，共60分）
13. 证明：把已知代数式整理成关于x的二次三项式，得
原式＝3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc ∵它是完全平方式， ∴△＝0.
   即4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0. ∴ 2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ca=0,
(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2=0.要使等式成立，必须且只需：
        解这个方程组，得 .
14. 解：（1）（6，4）；（）.（其中写对B点得1分） ………………………………3分
（2）∵S△OMP = ×OM× ，
∴S = ×（6 -t）× = +2t ＝（0 < t <6）．
∴当时，S有最大值．…………………………………………8分
       （3）存在．
    由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），
则直线ON的函数关系式为：．
设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：，
解方程组得
∴直线ON与MT的交点R的坐标为．
∵S△OCN ＝ ×4×3＝6，∴S△ORT ＝ S△OCN ＝2． …………………10分
一、当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是△OR1T1，
二、如图，作R1D1⊥y轴，D1为垂足，
则S△OR1T1＝ ••••RD1•OT ＝ • •b＝2.
∴ ， b = .∴b1 ＝，b2 ＝（不合题意，舍去）
此时点T1的坐标为（0，）. ……………………………………………15分
② 当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是△R2NE，如图，设MT交CN于点E，
∵点E的纵坐标为4，∴由①得点E的横坐标为，
作R2D2⊥CN交CN于点D2，则
S△R2NE＝ •EN•D2 = • • ＝2.
∴ ，b= .
∴b1＝，b2＝（不合题意，舍去）．
∴此时点T2的坐标为（0，）．
综上所述，在y轴上存在点T1（0，），T2（0，）符合条件．…20分
15. 证明：（1）∵
∴ 代入抛物线中，得
得解得：，
故抛物线通过定点 ……………………10分
（2）∵ ，∴
= =
=
∴
∴ 与中至少有一个非负.
∴ 与中至少有一个方程有实数根.…………20分

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