2013年广东省梅州市中考数学试题及答案flash版

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2013年梅州市初中毕业生学业考试
数学试卷

说    明：本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时90分钟．
注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写准考证号、姓名、试室号、座位号，再用2B铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑．
       2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应答案选项涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再重新选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
       3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
       4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
       5．本试卷不用装订，考完后统一交县招生办（中招办）封存．
参考公式：二次函数 的对称轴是直线 = ，顶点坐标是
（ ， ）．
一、选择题：每小题3分，共15分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的．                                                                                 
1． 下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．2和   B．-2和－    C． -2和|-2|    D． 和
2．如图1的几何体的俯视图是（　　）






3．下列事件中，必然事件是（　　）
Ａ．任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上　
Ｂ．黑暗中从一串不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门
Ｃ．通常情况下，水往低处流　　    　
Ｄ．上学的路上一定能遇到同班同学
4．如图2所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC．则四边形OACB（　　）
A． 是正方形       B． 是长方形   
C． 是菱形         D．以上答案都不对
5．一列货运火车从梅州站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一个车站停下，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，那么可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是（　　）

二、填空题：每小题3分，共24分．
6．计算: =_______．

7． 如图3，要测量A、B两点间距离，在O点打桩，取OA的中点 C，
OB的中点D，测得CD=30米，则AB=______米．

8． 如图4， 点 P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB=30°，
则 ∠AOB=_____度．

9． 如图5，AB是⊙O的直径，∠COB=70°，则∠A=_____度．

10． 函数 的自变量 的取值范围是_____．
11． 某校九年级二班50名学生的年龄情况如下表所示：
年龄 14岁 15岁 16岁 17岁
人 数 7 20 16 7
   则该班学生年龄的中位数为________；从该班随机地抽取一人，抽到学生的年龄恰好是15岁的概率等于________．
12． 已知直线 与双曲线 的一个交点A的坐标为（-1，-2）．则 =_____； =____；它们的另一个交点坐标是______．
13．观察下列等式:
① 32-12=4×2；
② 42-22=4×3；
③ 52-32=4×4；
④ （  ）2-（  ）2=（  ）×（  ）；
……
则第4个等式为_______．   第 个等式为_____．（ 是正整数）
三、解答下列各题：本题有10小题，共81分．
解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
14．本题满分7分．
如图6，已知 :
（1） AC的长等于_______．
（2）若将 向右平移2个单位得到 ，则 点的对应点 的坐标是______；
（3） 若将 绕点 按顺时针方向旋转 后得到 A1B1C1，则A点对应点A1的坐标是_________．




右图是我国运动员在1996年、2000年、2004年三届奥运会上获得奖牌数的统计图．
请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1） 在1996年、2000年、2004年这三届奥运会上，我国运动员获得奖牌总数最多的一届奥运会是________年．
（2） 在1996年、2000年、2004年这三届奥运会上，我国运动员共获奖牌___________枚．
（3）根据以上统计，预测我国运动员在2008年奥运会上能获得的奖牌总数大约为_________枚．

16．本题满分7分．
解分式方程： ．




17．本题满分7分．
如图7所示，在长和宽分别是 、 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为 的正方形．
(1) 用 ， ， 表示纸片剩余部分的面积；
(2) 当 =6， =4，且剪去部分的面积等于剩余部分的
面积时，求正方形的边长．

18．本题满分8分．
如图8，四边形 是平行四边形．O是对角线 的中点，过点 的直线
分别交AB、DC于点 、 ，与CB、AD的延长线分别交于点G、H．
（1）写出图中不全等的两个相似三角形（不要求证明）；
（2）除AB=CD，AD=BC，OA=OC这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段，
请选出其中一对加以证明．





19．本题满分8分．
如图9所示，直线L与两坐标轴的交点坐标分别是A（-3，0），B（0，4），
O是坐标系原点．
（1）求直线L所对应的函数的表达式；
（2）若以O为圆心，半径为R的圆与直线L相切，求R的值．




20．本题满分8分．
已知关于 的一元二次方程 2-  -2=0．  ……①
(1) 若 =-1是方程①的一个根，求 的值和方程①的另一根；
(2) 对于任意实数 ，判断方程①的根的情况，并说明理由．
       



                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
21．本题满分8分．
如图10所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点， EF⊥DE交BC于点F．
（1）求证:  ADE∽ BEF；
（2） 设正方形的边长为4， AE= ，BF= ．当 取什么值时，  有最大值?并求出这个最大值．





22．本题满分10分．
物资种类 食品 药品 生活用品
每辆汽车运载量（吨） 6 5 4
每吨所需运费（元/吨） 120 160 100
“一方有难，八方支援”．在抗击“5．12”汶川特大地震灾害中，某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满．根据右表提供的信息，解答下列问题:
（1）设装运食品的车辆数为 ，装运药品的车辆数为 ．求 与 的函数关系式；
（2）如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆数不少于4辆， 那么车辆的安排有几种方案?并写出每种安排方案；
（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案?并求出最少总运费．




23．本题满分11分．
如图11所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD， AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为 轴，过D且垂直于AB的直线为 轴建立平面直角坐标系．
（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；
（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．
（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使 PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由）




2013年梅州市初中毕业生学业考试数学
参考答案与评分意见
一、 选择题：每小题3分，共15分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的． 
1．C； 2．A； 3．C； 4．C； 5．B．
二、填空题：每小题3分，共24分．
6．2．   7．60．   8．60．   9．35．   10．x>1．    11．15岁（1分）；   （2分）． 
12．m=2（1分）；k=2（1分）；（1，2）（1分）． 
13．62-42=4×5（1分）；（n+2）2-n2=4×（n+1） （2分）．
三、解答下列各题：本题有10小题，共81分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
14．本题满分7分．
如图6，已知 ：
（1） AC的长等于_______．
（2）若将 向右平移2个单位得到 ，则 点的对应点 的坐标是______；
（3） 若将 绕点 按顺时针方向旋转 后得到 A1B1C1，则A点对应点A1的坐标是_________．
解：（1） ．  3分
（2）（1，2）．   5分
（3）（3，0）． 7分

15．本题满分7分．
右图是我国运动员在1996年、2000年、2004年三届奥运会上获得奖牌数的统计图．
请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1） 在1996年、2000年、2004年这三届奥运会上，我国运动员获得奖牌总数最多的一届奥运会是________年．
（2） 在1996年、2000年、2004年这三届奥运会上，我国运动员共获奖牌___________枚．
（3）根据以上统计，预测我国运动员在2008年奥运会上能获得的奖牌总数大约为_________枚．
解：（1）2004年； 2分
（2）172；  4分
（3）72．   7分
（注意：预测数字在64～83的都得3分，84～93得2分，94～103得1分，大于104或小于64的得0分）
16．本题满分7分．
解分式方程： ．
解：方程两边同乘以 -2，得1- +2（ -2）=1，  2分
   　即1- +2 -4=1， 4分
解得 =4． 6分
　　   　经检验，  =4是原方程的根． 7分

17．本题满分7分．
如图7所示，在长和宽分别是 、 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为 的正方形．
(3) 用 ， ， 表示纸片剩余部分的面积；
(4) 当 =6， =4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
解：（1）   －4 2； 2分
（2）依题意有：   －4 2=4 2， 4分
将 =6， =4，代入上式，得 2=3，  6分
解得 ． 7分
即正方形的边长为 ．          

18．本题满分8分．
如图8，四边形 是平行四边形．O是对角线 的中点，过点 的直线 分别交AB、DC于点 、 ，与CB、AD的延长线分别交于点G、H．
（1）写出图中不全等的两个相似三角形（不要求证明）；
（2）除AB=CD，AD=BC，OA=OC这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段，请选出其中一对加以证明．
解：（1）  AEH与 DFH． 2分
（或 AEH与 BEG， 或 BEG与 CFG ，或 DFH与 CFG）
（2）OE=OF． 3分
证明： 四边形 是平行四边形，
∥CD，   4分  
， 5分
　　 　 ， 6分　　
　      △ △ ， 7分　　　     
． 8分
（注意：此题有多种选法，选另外一对的，按此标准评分）
19．本题满分8分．
如图9所示，直线L与两坐标轴的交点坐标分别是A（-3，0），B（0，4），O是坐标系原点．
（1）求直线L所对应的函数的表达式；
（2）若以O为圆心，半径为R的圆与直线L相切，求R的值．
解：（1）设所求为 =  + ．  1分
将A（-3，0），B（0，4）的坐标代入，得
    2分
解得 =4，  = ． 3分
所求为 =  +4． 4分
（2）设切点为P，连OP，则OP⊥AB，OP=R． 5分
Rt AOB中，OA=3，OB=4，得AB=5， 6分
因为，  得 7分
R= ． 8分
（本题可用相似三角形求解）

20．本题满分8分．
已知关于 的一元二次方程 2-  -2=0………①．
(3) 若 =-1是这个方程的一个根，求 的值和方程①的另一根；
(4) 对于任意的实数 ，判断方程①的根的情况，并说明理由．
解：（1）  =-1是方程①的一个根，所以1+ -2=0，  1分
解得 =1．  2分
        方程为 2- -2=0， 解得，  1=-1，  2=2．                     
所以方程的另一根为 =2． 4分
（2）  = 2+8， 5分
因为对于任意实数 ， 2≥0， 6分
所以 2+8>0， 7分
所以对于任意的实数 ，方程①有两个不相等的实数根．  8分
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             
21．本题满分8分．
如图10所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点， EF⊥DE交BC
于点F．
（1）求证：  ADE∽ BEF；
（2）设正方形的边长为4， AE= ，BF= ．当 取什么值时，  有最大值?并求出这个最大值．
证明： （1）因为ABCD是正方形，所以
∠DAE=∠FBE= ，
所以∠ADE+∠DEA= ， 1分
又EF⊥DE，所以∠AED+∠FEB= ， 2分
所以∠ADE=∠FEB， 3分
所以 ADE∽ BEF． 4分
（2）解：由（1）  ADE∽ BEF，AD=4，BE=4- ，得
，得 5分
= = ， 6分
所以当 =2时，  有最大值， 7分
的最大值为1． 8分

22．本题满分10分．
物资种类 食品 药品 生活用品
每辆汽车运载量（吨） 6 5 4
每吨所需运费（元/吨） 120 160 100
“一方有难，八方支援”．在抗击“5．12”汶川特大地震灾害中，某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满．根据右表提供的信息，解答下列问题：
（1）设装运食品的车辆数为 ，装运药品的车辆数为 ．求 与 的函数关系式；
（2）如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆数不少于4辆， 那么车辆的安排有几种方案?并写出每种安排方案；
（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案?并求出最少总运费．
解：（1）根据题意，装运食品的车辆数为 ，装运药品的车辆数为 ，
    那么装运生活用品的车辆数为 ． 1分
    则有 ， 2分
整理得，   ． 3分
（2）由（1）知，装运食品，药品，生活用品三种物资的车辆数分别为 ，
    由题意，得  4分
解这个不等式组，得  4.5分
    因为 为整数，所以 的值为 5，6，7，8．所以安排方案有4种： 5分
    方案一：装运食品5辆、药品10辆，生活用品5辆； 5.5分
    方案二：装运食品6辆、药品8辆，生活用品6辆； 6分
    方案三：装运食品7辆、药品6辆，生活用品7辆； 6.5分
    方案四：装运食品8辆、药品4辆，生活用品8辆．  7分
    （3）设总运费为 （元），
则 =6 ×120+5（20-2 ）×160+4 ×100=16000-480 ．  8分
        因为 =-480<0，所以 的值随 的增大而减小． 8.5分
要使总运费最少，需 最小，则 =8． 9分
故选方案4．  9.5分
最小=16000-480×8=12160元．   10分
最少总运费为12160元                         
23．本题满分11分．
如图11所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD， AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为 轴，过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；
（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．
（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使 PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由）
解： （1）  DC∥AB，AD=DC=CB，   ∠CDB=∠CBD=∠DBA， 0.5分
     ∠DAB=∠CBA，  ∠DAB=2∠DBA，  1分
∠DAB+∠DBA=90 ，  ∠DAB=60 ，  1.5分
  ∠DBA=30 ， AB=4，  DC=AD=2，    2分
Rt AOD，OA=1，OD= ， 2.5分
A（-1，0），D（0，  ），C（2，  ）．   4分
（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A（－1，0），B（3，0），

故可设所求为   =  （ +1）（  -3）  6分
将点D（0，  ）的坐标代入上式得，  = ．
所求抛物线的解析式为   =      7分
其对称轴L为直线 =1． 8分
（3）  PDB为等腰三角形，有以下三种情况：
①因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1，P1D=P1B，
P1DB为等腰三角形；   9分
②因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3，DB=DP2，DB=DP3，  P2DB，  P3DB为等腰三角形；
③与②同理，L上也有两个点P4、P5，使得 BD=BP4，BD=BP5．   10分
由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使 PDB为等腰三角形的点P有5个．