2013年福建省莆田市中考数学试题及答案flash版

作者：deadmin 来源：未知发布时间：2013-10-16 阅读次数：

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2013年福建省莆田市中考数学试卷

一、精心选一选：本大题共8小题，每小题4分，共32分。每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的，答对的得4分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分。
1． 2013的相反数是（　　）
　 A． 2013 B． ﹣2013 C． D． ﹣
2．下列运算正确的是（　　）
　 A．（a+b）2=a2+b2 B． 3a2﹣2a2=a2 C． ﹣2（a﹣1）=﹣2a﹣1 D． a6÷a3=a2
3．对于一组统计数据：2，4，4，5，6，9．下列说法错误的是（　　）
　 A．众数是4 B．中位数是5 C．极差是7 D．平均数是5
4．如图，一次函数y=（m﹣2）x﹣1的图象经过二、三、四象限，则m的取值范围是（　　）

　 A． m＞0 B． m＜0 C． m＞2 D． m＜2

5．如图是一个圆柱和一个长方体的几何体，圆柱的下底面紧贴在长方体的上底面上，那么这个几何体的俯视图可能是（　　）

　 A． B． C． D．
6．如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（　　）

　 A． 55° B． 70° C． 125° D． 145°
7．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，则∠OB C的度数为（　　）

　 A． 40° B． 50° C． 80° D． 100°
8．下列四组图形中，一定相似的是（　　）
　 A．正方形与矩形 B．正方形与菱形
　 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
二、细心填一填：本大题共8小题，每小题4分，共32分）
9．不等式2x﹣4＜0的解集是　　　　．
10．小明同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦”，搜索到相关的结果个数约为8650000，将这个数用科学记数法表示为　　．
11．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，BE=CF，请添加一个条件　　　　，使△ABC≌△DEF．

12．已知在R t△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为　　．
13．（4分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是　　　　．

14．（4分）经过某个路口的汽车，它可能继续直行或向右转，若两种可能性大小相同，则两辆汽车经过该路口全部继续直行的概率为　　．

15．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为　　　．

16．（4分）统计学规定：某次测量得到n个结果x1，x2，…，xn．当函数y= + +…+ 取最小值时，对应x的值称为这次测量的“最佳近似值”．若某次测量得到5个结果9.8，10.1，10.5，10.3，9.8．则这次测量的“最佳近似值”为　　　　．

三、耐心做一做：本大题共9小题，共86分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算： +|﹣3|﹣（π﹣2013）0．

18．（8分）先化简，再求值：，其中a=3．
19．（8分）莆田素有“文献名邦”之称，某校就同学们对“莆田历史文化”的了解程度进行随机抽样调查，将调查结果制成如图所示的两幅统计图：

根据统计图的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查　60　名学生；
（2）条形统计图中m=　18　；
（3）若该校共有学生1000名，则该校约有　200　名学生不了解“莆仙历史文化”．
　
20．（8分）定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．

　
21．（8分）如图，▱ABCD中，AB=2，以点A为圆心，AB为半径的圆交边BC于点E，连接DE、AC、AE．
（1）求证：△AED≌△DCA；
（2）若DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，求图中阴影部分（扇形）的面积．

22．（10分）如图，直线l：y=x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C与原点O关于直线l对称．反比例函数y= 的图象经过点C，点P在反比例函数图象上且位于C点左侧，过点P作x轴、y轴的垂线分别交直线l于M、N两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求AN•BM的值．

　
23．（ 10分）如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛（花坛为轴对称图形）．矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形ABCD的边长AB=4米，∠ABC=60°．设AE=x米（0＜x＜4），矩形EFGH的面积为S米2．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草．已知红色花草的价格为20元/米2，黄色花草的价格为40元/米2．当x为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用（结果保留根号）？

　
24．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0）．与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标．（用含a的代数式表示）；
（2）若△ACD的面积为3．
①求抛物线的解析式；
②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠PAB=∠DAC，求平移后抛物线的解析式．

　
25．（14分）在Rt△ABC，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E．
（1）特殊验证：如图1，若 AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；
（2）拓展探究：若AC≠BC．
①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；
②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．

参考答案
1、B　2、B　3、B　4、D　5、C　6、C　7、A　8、D
9、x＜2　　10、8.65×106　　11、AB=DE　　12、
13、10　14、　　15、5　16、10.1
17、解：原式=2+3﹣1=4．
　
18、解：原式= • = ，
当a=3时，原式= =2．

19、 19.解：（1）调查的总人数是：24÷40%=60（人），
故答案是：60；
（2）m=60﹣12﹣24﹣6=18，故答案是：18；
（3）不了解“莆仙历史文化”的人数是：1000× =200．
故答案是：200．
20、解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，
∴AD= BD，BC=BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴ = ，即 = ，
∴AD2=AC•CD．
∴点D是线段AC的黄金分割点．

（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，
∴AD= AC= ．
21、
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴四边形AECD是梯形，
∵AB=AE，
∴AE=CD，
∴四边形AECD是等腰梯形，
∴AC=DE，
在△AED和△DCA中，
，
∴△AED≌△DCA（SSS）；

（2）解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠ADE，
∵四边形AECD是等腰梯形，
∴∠DAE=∠ADC=2∠AED，
∵DE与⊙A相切于点E，
∴AE⊥DE，
即∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，
∴∠DAE=60°，
∴∠DCE=∠AEC=180°﹣∠DAE=120°，
∵四边形ACD是平行四边形，
∴∠BAD=∠DCE=120°，
∴∠BAE=∠BAD﹣∠EAD=60°，
∴S阴影= ×π×22= π．　
22、：解：（1）连接AC，BC，由题意得：四边形AOBC为正方形，
对于一次函数y=x+1，令x=0，求得：y=1；令y=0，求得：x=﹣1，
∴OA=OB=1，
∴C（﹣1，1），
将C（﹣1，1）代入y= 得：1= ，即k=﹣1，
则反比例函数解析式为y=﹣ ；

（2）过M作ME⊥y轴，作ND⊥x轴，
设P（a，﹣ ），可得ND=﹣ ，ME=|a|=﹣a，
∵△AND和△BME为等腰直角三角形，
∴AN= ×（﹣ ）=﹣ ，BM=﹣ a，
则AN•BM=﹣ •（﹣ a）=2．

23、

23、：解：（1）连接AC、BD，

∵花坛为轴对称图形，
∴EH∥BD，EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC、△BEF是等边三角形，
∴EF=BE=AB﹣AE=4﹣x，
在Rt△AEM中，∠AEM=∠ABD=30°，
则EM=AEcos∠AEM= x，
∴EH=2EM= x，
故可得S=（4﹣x）× x=﹣ x2+4 x．

（2）易求得菱形ABCD的面积为8 cm2，
由（1）得，矩形ABCD的面积为 x2，则可得四个三角形的面积为（8 + x2﹣4 x），
设总费用为W，
则W=20（﹣ x2+4 x）+40（8 + x2﹣4 x）
=20 x2﹣80 x+320
=20 （x﹣2）2+240 ，
∵0＜x＜4，
∴当x=2时，W取得最小，W最小=240 元．
即当x为2时，购买花草所需的总费用最低，最低费用为240 元．

24、
解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣1）=ax2+2ax﹣3a，
∵y=a（x+3）（x﹣1）=a（x2+2x﹣3）=a（x+1）2﹣4a，
∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4a）；

（2）如图1，①设AC与抛物线对称轴的交点为E．
∵抛物线y=ax2+2ax﹣3a与y轴交于点C，
∴C点坐标为（0，﹣3a）．
设直线AC的解析式为：y=kx+t，
则：，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y=﹣ax﹣3a，
∴点E的坐标为：（﹣1，﹣2a），
∴DE=﹣4a﹣（﹣2a）=﹣2a，
∴S△ACD=S△CDE+S△ADE= ×DE×OA= ×（﹣2a）×3=﹣3a，
∴﹣3a=3，解得a=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；

②∵y=﹣x2﹣2x+3，
∴顶点D的坐标为（﹣1，4），C（0，3），
∵A（﹣3，0），
∴AD2=（﹣1+3）2+（4﹣0）2=20，CD2=（﹣1﹣0）2+（4﹣3）2=2，AC2=（0+3）2+（3﹣0）2=18，
∴AD2=CD2+AC2，
∴∠ACD=90°，
∴tan∠DAC= = = ，
∵∠PAB=∠DAC，
∴tan∠PAB=tan∠DAC= ．
如图2，设y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4向右平移后的抛物线解析式为y=﹣（x+m）2+4，两条抛物线交于点P，直线AP与y轴交于点F．
∵tan∠PAB= = = ，
∴OF=1，则F点的坐标为（0，1）或（0，﹣1）．
分两种情况：
（Ⅰ）如图2①，当F点的坐标为（0，1）时，易求直线AF的解析式为y= x+1，
由，解得，（舍去），
∴P点坐标为（，），
将P点坐标（，）代入y=﹣（x+m）2+4，
得 =﹣（ +m）2+4，
解得m1=﹣ ，m2=1（舍去），
∴平移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣ ）2+4；
（Ⅱ ）如图2②，当F点的坐标为（0，﹣1）时，易求直线AF的解析式为y=﹣ x﹣1，
由，解得，（舍去），
∴P点坐标为（，﹣ ），
将P点坐标（，﹣ ）代入y=﹣（x+m）2+4，
得﹣ =﹣（ +m）2+4，
解得m1=﹣ ，m2=1（舍去），
∴平移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣ ）2+4；
综上可知，平移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣ ）2+4或y=﹣（x﹣ ）2+4．

25、解答：（1）证明：若AC=BC，则△ABC为等腰直角三角形，

如答图1所示，连接OD，则CD⊥AB，又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2．
在△AND与△CDM中，

∴△AND≌△CDM（ASA），
∴ DM=DN．
∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3，
∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5，
在△NED与△DFM中，

∴△NED≌△DFM（ASA），
∴NE=DF．
∵△ANE为等腰直角三角形，∴AE=NE，∴AE=DF．

（2）①答：AE=DF．
证法一：由（1）证明可知：△DEN∽△MFD，
∴ ，即MF•EN=DE•DF．
同理△AEN∽△MFB，
∴ ，即MF•EN=AE• BF．
∴DE•DF=AE•BF，
∴（AD﹣AE）•DF=AE•（BD﹣DF），
∴AD•DF=AE•BD，∴AE=DF．
证法二：如答图2所示，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q．

∵D为AB中点，
∴DQ=PC=PB．
易证△ DMF∽△NDE，∴ ，
易证△DMP∽△DNQ，∴ ，
∴ ；
易证△AEN∽△DPB，∴ ，
∴ ，∴AE=DF．

②答：DF=kAE．
证法一：由①同理可得：DE•DF=AE•BF，
∴（AE﹣AD）•DF=AE•（DF ﹣BD）
∴AD•DF=AE•BD
∵BD=kAD
∴DF=kAE．
证法二：如答图3，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q．

易证△AQD∽△DPB，得，即PB=kDQ．
由①同理可得：，
∴ ；
又∵ ，
∴ ，
∴DF=kAE．

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