江苏盐城市东台县东台中学2013—2014学年高二数学上10月份月考试

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江苏盐城市东台县东台中学2013—2014学年高二数学上10月份月考试题及答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．
1．设集合M＝{x|0≤x≤1}，函数f(x)＝11－x的定义域为N，则M∩N＝   ▲   ．[0，1)
2．已知cosα＝53，且α∈(－π2，0)，则sin(π－α)＝    ▲     ．－23
3．平面直角坐标系中，不等式组x＋y－2≥0，x－y＋2≥0，x≤2表示的平面区域的面积是   ▲   ．4
4. 已知函数f(x)＝2－x，x≥3，f(x＋1)，x＜3，则f(log23)＝     ▲     ．112
5．从圆(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2，3)向这个圆引切线，则切线的方程为     ▲     ．
3x－4y＋6＝0及x＝2
6．若a与b－c都是非零向量，则“a•b＝a•c”是“a⊥(b－c)”的   ▲    条件．
(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或者“既不充分又不必要”)    充要
7．等差数列{an}中，公差d≠0，且2a3－a72＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝     ▲     ．16 来源进步网szjjedu.com
8.设x、y满足约束条件y≤x＋1，y≥2x－1，x≥0，y≥0，则目标函数z＝16x＋y的最大值为   ▲   ．35
9．①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；
④命题“若A∩B＝B，则AB”的逆否命题．
其中是真命题的序号是___▲___．①，②，③ 
10．如果两条直线l1：x＋a2y＋6＝0与l2：(a－2)x＋3ay＋2a＝0平行，则实数a 的值是   ▲   ．0或－1
11．过点A(3，2)，圆心在直线y＝2x上，与直线y＝2x＋5相切的圆的方程为   ▲   ．
(x－2)2＋(y－4)2＝5，或(x－45)2＋(y－85)2＝5 来源进步网szjjedu.com
12．过点P(12，1)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，当∠ACB最小时，直线l的方程为   ▲   ．2x－4y＋3＝0
13．已知函数f(x)＝2x－1(x＞0)，若a＜b时，f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围为   ▲   ．
(4，＋∞)．
14．若对于给定的正实数 ，函数f(x)＝kx的图像上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为2，则k的取值范围是     ▲    ．(0，92)．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
已知m＞0，p：x2－4x－12≤0，q：2－m≤x≤2＋m．
(Ⅰ)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
(Ⅱ)若m＝5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．
解  (Ⅰ) A＝[－2，6]，B＝[2－m，2＋m] ，
实数m的取值范围是(4，＋∞)．        
(Ⅱ)A＝[－2，6]，B＝[－3，7] ， 来源进步网szjjedu.com
实数x的取值范围是[－3，－2)∪(6，7]．
16．(本小题满分14分)已知直线l：x－2y－5＝0与圆O：x2＋y2＝50相交于点A，B，求：
(1)交点A，B的坐标；(2)△AOB的面积；(3)圆心角AOB的余弦．
解：(1)由方程组x－2y－5＝0，x2＋y2＝50，消x得y2＋4y－5＝0，解得y1＝1，y2＝－5，
所以x1＝7，y1＝1，x2＝－5，y2＝－5．所以点A，B的坐标分别为(7，1)，(－5，－5)．
(2)由(1)知直线AB的方程为x－2y－5＝0．
因为圆O的圆心为坐标原点O，半径为52，所以原点O到直线AB的距离为
d＝55＝5．又 AB＝[7－(－5)]2＋[1－(－5)]2＝65，
所以△AOB的面积为S＝12×65×55＝15．
(3)方法一  因为OA＝52，OB＝52，AB＝65，
所以       cos∠AOB＝OA2＋OB2－AB22OAOB＝－45．
方法二  由(1)得→OA＝(7，1)，→OB＝(－5，－5)，∠AOB＝＜→OA，→OB＞，
所以     cos∠AOB＝→OA•→OB|→OA||→OB|＝7×(－5)＋1×(－5)72＋12×(－5)2＋(－5)2＝－45
17．(本小题满分14分) 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
AB＝AC，点D为BC中点，点E为BD中点，点F在AC1上，
且AC1＝4AF.
(1)求证：平面ADF⊥平面BCC1B1；
(2)求证：EF //平面ABB1A1.
证明：(1) 因为直三棱柱ABC－A1B1C1，所以CC1平面ABC，
而AD平面ABC， 所以CC1AD. 
又AB＝AC，D为BC中点，所以ADBC，
因为BCCC1＝C，BC平面BCC1B1，CC1平面BCC1B1，
所以AD平面BCC1B1，  
因为AD平面ADF，所以平面ADF⊥平面BCC1B1.  
(2) 连结CF延长交AA1于点G，连结GB.
因为AC1＝4AF，AA1//CC1，所以CF＝3FG，
又因为D为BC中点，点E为BD中点，所以CE＝3EB，
所以EF//GB，而EF平面ABBA1，GB 平面ABBA1，
所以EF //平面ABBA1.     
18．(本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
解：法一：(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0，1)，
与x轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．
故可设C的圆心为(3，t)，
则有32＋(t－1)2＝(22)2＋t2，解得t＝1.
则圆C的半径为32＋t－12＝3.
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
法二：设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
令y＝0 得x2＋Dx＋F＝0，这与x2－6x＋1＝0 是同一个方程，故D＝－6，F＝1．
令x＝0 得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为1，代入得出E＝－2．
∴圆C的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组
x－y＋a＝0，x－32＋y－12＝9. 来源进步网szjjedu.com
消去y，得方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2＞0.
从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝a2－2a＋12.　①
由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.
又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，
所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.　②
由①②得a＝－1，满足Δ＞0，故a＝－1.
19．(本小题满分16分)如图，两座建筑物AB，CD的底部都在
同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m和15m，
从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD＝45°．
(1)求BC的长度；
(2)在线段BC上取一点P(点P与点B，C不重合)，
从点P看这两座建筑物的张角分别为∠APB＝α，
∠DPC＝β，问点P在何处时，tan(α＋β)最小？
解：(1)如图作AN⊥CD于N．
∵AB∥CD，AB＝9，CD＝15，∴DN＝6，EC＝9．
设AN＝x，∠DAN＝θ，
∵∠CAD＝45°，∴∠CAN＝45°－θ．
在Rt△ANC和Rt△AND中，
∵tanθ＝6x，tan(45°－θ)＝9x
∴9x＝tan(45°－θ)＝1－tanα1+tanα
化简整理得x2－15x－54＝0，
解得x1＝18，x2＝－3(舍去)．
BC的长度是18 m．
(2)设BP＝t，所以PC＝18－t，tanα＝9t，tanβ＝15 18－t，
所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝9t＋15 18－t1－9t 15 18－t＝－6t－45＋1350 t+27＝－6t＋27＋1350 t+27－72
≥－621350－72当且仅当t＋27＝1350 t+27，即t＝156－27时，tan(α＋β)最小．
答：P在距离B156－27时，tan(α＋β)最小．
20. (本小题满分16分) 已知圆M：(x－1)2＋y2＝1，A(12，52)，
B(0，t)，C(0，t－4)(其中0＜t＜4)．
(1)过点A的直线l被圆M截得的弦长为3，
求直线l的方程；
(2)若直线PB，PC都是圆M的切线，且点P在
y轴右侧，求△PBC面积的最小值．
解： (1)①当l⊥x轴时，l的方程为x＝12，满足题意．
②当l与x轴不垂直时，设l：y－52＝k(x－12)，
即kx－y＋5－k2＝0．所以圆心M到l的距离d＝|k＋5－k2|k2＋1，
   又直线被圆所截弦长为3，则d＝12－(32)2＝12，
所以 |k＋5－k2|k2＋1＝12，解得：k＝－125，所以l：12x＋5y－372＝0．
综上，直线l的方程为x＝12，或24x＋10y－37＝0．
(2)方法一：设PB的斜率为k，则PB：y＝kx＋t，即kx－y＋t＝0． 来源进步网szjjedu.com
      因为PB与圆M相切，所以 |k＋t|k2＋1＝1，得k＝1－t22t．
      所以PB：y＝1－t22tx＋t． 同理可得PA：y＝1－(t－4)22(t－4)x＋t－4．
     由y＝1－t22tx＋t，y＝1－(t－4)22(t－4)x＋t－4．解得xP＝2t2－8t t2－4t＋1．
     由2xP＝t2－4t＋1t2－4t＝1＋1t2－4t． 因为0＜t＜4，所以0＞t2－4t≥－4，所以2xP≤34，xP≥83．
  当t＝2时，xP＝83，此时S△ABC＝163．
方法二：设圆M与直线CP，BP分别切与G，H，连结MO，CM，
设∠OBM＝α，∠OCM＝β则∠MPC＝π2－α－β
由BC＝4，得1tanα ＋1tanβ＝4，
所以4＝1tanα ＋1tanβ≥21tanαtanβ  得tanαtanβ≥14 ，当且仅当α=β时取等号
又PH＝ tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝4tanαtanβ1－tanαtanβ＝4 1tanαtanβ－1≥43
所以S△ABC＝12(BC＋PC＋BP)r＝4＋PH≥43＋4＝163，所以△PBC面积的最小值163.
附加题：(本题满分20分，以160＋20的形式计分)
21．设集合A＝{(x，y)|m2≤(x－2)2＋y2≤m2，x，yR}，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1， x，yR } ，若A∩B≠ ，求实数m的取值．
解 因为对任意m∈R，都有2m≤2m＋1，所以B≠Æ，集合B表示在直线x＋y＝2m与直线x＋y＝2m＋1之间的平面区域(包含边界)．
当m2＞m2，即0＜m＜12时，A＝Æ，不满足条件；
当m2≤m2，即m≤0或m≥12时，A≠Æ．
(1)若m≤0，则A＝{(x，y)|(x－2)2＋y2≤m2，x，y∈R}表示以点(2，0)为圆心，半径为|m|的
圆面(m＝0时是原点)， A∩B≠Æ等价于点(2，0)到直线x＋y＝2m＋1的距离不大于半径|m|，即|2－2m－1|2≤|m|，即2m2－4m＋1≤0，即(m－1)2≤12，解得1－22≤m≤1＋22，所以m∈Æ；
(2)若m≥12，则A＝{(x，y)|m2≤(x－2)2＋y2≤m2，x，y∈R}表示以点(2，0)为圆心，大圆半径为|m|，小圆半径为m2的圆环．
当(2，0)∈B，即2m≤2≤2m＋1，即12≤m≤1时，A∩B≠Æ，满足条件；若m＞1，则A∩B≠Æ等价于点(2，0)到直线x＋y＝2m的距离不大于半径|m|，即|2－2m|2≤|m|，即m2－4m＋2≤0，即(m－2)2≤2，解得2－2≤m≤2＋2，所以1＜m≤2＋2，满足条件．
综上，实数m的取值范围是[12，2＋2]．来源szjjedu.com