浙江丽水市云和县云和中学2013-2014学年高二上期中考试数学（理

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浙江丽水市云和县云和中学2013-2014学年高二上期中考试数学（理）试卷及答案
一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 来源进步网szjjedu.com
1、与向量 平行的一个向量的坐标可以是                        （ ▲ ）
A.      B.     C.      D. 
2、若圆C与圆 关于原点对称，则圆C的方程是           （ ▲ ）
A．      B．
C．      D．
3、已知两条相交直线a，b，a∥平面 ，则b与 的位置关系是              (  ▲ )
A．b  平面   B. b与平面 相交 C. b∥平面   D．b在平面 外
4、在空间直角坐标系中点P（1，3，－5）关于平面 对称的点的坐标是       （ ▲  ）
A．（1，3，5）     B．（1，－3，5）     C．（－1，3，－5）    D．（－1，－3，5）
5、 圆 和圆 的位置关系是                    （ ▲  ）
A.相离          B.相交          C. 外切          D.内切 来源进步网szjjedu.com
6、正方体 的8个顶点中，平面 经过其中的四个顶点，其余四个顶点到平面 的距离都相等，则这样的平面的个数为                                (　▲　)
    A.6             B. 8            C. 12            D. 16
7、已知 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，给出下列命题：
①若 ⊥ ， ∥ ，则 ⊥ ；②若 ⊥ ， ⊥ ，且 ⊥ ，则 ⊥ ；
③若 ⊥ ， ∥ ，则 ⊥ ；④若 ∥ ， ∥ ，且 ∥ ，则 ∥ .
其中真命题的序号是                                                   (　▲　)
A．①④      B．②③          C．②④      D．①③
8、 空间四边形ABCD中，若 ，则 与 所成角为(  ▲ )
A．          B.              C.                 D. 
9、直线 与圆 的位置关系为                             （  ▲  ）
    A．相切        B．相交但直线不过圆心      C．直线过圆心      D．相离
10、已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的全面积之比为                                                                  （ ▲ ）
A.             B.      来源进步网szjjedu.com         C.              D. 
11、已知 的平面直观图 是边长为1的正三角形，那么 的面积为(  ▲  )
A.               B.               C.             D.  
12、由直线 上的一点向圆 引切线，则切线长的最小值为 （  ▲  ）
A. 1                 B.              C.             D. 3
13、已知四面体 ， 是 的重心， 是 上一点，且 ，若 = ，则 为                                （  ▲  ）
A.          B.          C.         D. 
14、 能够使得圆   上恰有两个点到直线  的距离等于1的  的一个可能值为                                                 (  ▲  )
     A. 2                B.               C. 3               D. 
15、已知平面 内有两定点 , ， 在 的同侧且 , ， ,在 上的动点 满足 与平面 所成的角相等，则点 的轨迹所包围的图形的面积等于                                                (  ▲ ）  
A.                B.               C.               D. 
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二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在题中横线上．）
16、已知方程 表示一个圆，则实数 的取值范围是  ▲    
17、已知 ， ,若 与 的夹角为 ，则 的值为  ▲  
18、若某多面体的三视图（单位：cm）如左下图所示，则此多面体的体积是___ ▲____ cm3 .


19、 一边BC在平面 内，顶点在平面 外，已知 ， 所在平面与平面 所成的二面角为 ，直线AB与平面 所成角为 ，则 　 ▲   　　
20、已知直线 与曲线 有两个不同交点，则k的取值范围
是　  ▲　　．
21、在正方体 中， 分别是
棱 的中点， 是 的中点，点
在四边形 的四边及其内部运动，则 满足条
件___ ▲_____时，有 ．
22、若任意满足  的实数  ，不等式  恒成立，则实数 的最大值是___▲____. 来源进步网szjjedu.com

三、解答题：（本大题共4小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

23、已知 ， ，
（1）若 与 互相垂直，求实数 的值；
（2）若 ，且 ，求实数 的值。


24、如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ，四边形 是菱形， , 是 上任一点.
(1)求证：  ；
（2）当 是 的中点时，求证： ∥ ；
(3)若 面积最小值是6，求 与平面 所成角.



                                 
25、已知圆心为C的圆经过点A（1，4），B（3，6）,且圆心C在直线 上，
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线 （ 为正实数），若直线 截圆C所得的弦长为 ，求实数 的值。
（3）已知点M（ ），N（4，0），且P为圆C上一动点，求 的最小值.

26、正△ 的边长为4， 是 边上的高， 分别是 和 边的中点，现将△ 沿 翻折成直二面角 ．
（1）试判断直线 与平面 的位置关系，并说明理由；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）在线段 上是否存在一点 ，使 ？证明你的结论．

答案
数学试题（理科A）
一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 C A D A B C B D
题 号 9 10 11 12 13 14 15
答 案 B C B C A C C

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分,共28分。（把答案写在相应的位置上）
16、      17、       18、        19、      20、                         21、     N在线段GE上        22、  来源进步网szjjedu.com


三、解答题：本大题共4小题，共62分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤，并把所有解答过程写在黑色边框区域内。
23、（本题满足15分）已知 ， ，
（1）若 与 互相垂直，求实数 的值；
（2）若 ，且 ，求实数 的值。
解析：（1） ，   ，由 与 互相垂直可知： ，得：
      （2） ，由条件可知： ，解得：

24、（本题满分15分）如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ，四边形 是菱形， , 是 上任一点.
(1)求证： ；
（2）当 是 的中点时，求证： ∥ ；
(3)若 面积最小值是6，求 与平面 所成角.

(Ⅰ)∵ 平面 ， 平面 ，
∴ .
在菱形ABCD中， ，
又∵ ，∴ 平面PDB.
又∵ 平面PDB，∴AC DE．     ………………………… 4分
(Ⅱ)当E为PB中点时，∵O为BD中点，∴EO∥PD.
∵
∴PD∥平面AEC.                    ………………………… 9分
(Ⅲ)∵PD⊥平面ABCD，∴∠PBD就是PB与平面ABCD所成的角.
由(Ⅰ)的证明可知，AC⊥平面PDB，∴AC⊥EO.
∵AC=6，∴ ，因其最小值为6，∴EO的最小值为2，
此时EO⊥PB， ，∴ ，
∴PB与平面ABCD成 的角.           ………………………

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25、（本题满分16分）已知圆心为C的圆经过点A（1，4），
B（3，6）,且圆心C在直线 上，
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线 （ 为正实数），若直线 截圆C所得的弦长为 ，
求实数 的值。
（3）已知点M（ ），N（4，0），且P为圆C上一动点，求 的最小值.
解析：（1）设圆C的方程为 ，由条件可知：
    解得： ，故圆C的方程为：
(2)圆心C到直线 的距离为 即：
解得： ，
（3）不妨设 ，则
表示圆上动点 与原点 的距离的平方，且
的最小值为50


26、（本题满分16分）正△ 的边长为4， 是 边上的          高， 分别是 和 边的中点，现将△ 沿 翻折
成直二面角 ．
（1）试判断直线 与平面 的位置关系，并说明理由；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）在线段 上是否存在一点 ，使 ？证明你的结论．

解：（I）如图：在△ABC中，
由E、F分别是AC、BC中点，
得EF//AB，
又AB 平面DEF，EF 平面DEF．
∴AB∥平面DEF． 
   （II）∵AD⊥CD，BD⊥CD  
∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角
∴AD⊥BD   ∴AD⊥平面BCD
取CD的中点M，这时EM∥AD   ∴EM⊥平面BCD
过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角
在Rt△EMN中，EM=1，MN=
∴tan∠MNE= ，cos∠MNE=   
（Ⅲ）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE证明如下：在线段BC上取点P。使 ，过P作PQ⊥CD与点Q，
∴PQ⊥平面ACD      ∵ 在等边△ADE中，∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE∴AP⊥DE