河北唐山市唐山一中2013—2014学年高二数学（理）上期中考试试卷

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河北唐山市唐山一中2013—2014学年高二数学（理）上期中考试试卷及答案
说明：1.考试时间120分，满分150分。
2.将卷 答案用2B铅笔涂在答题卡上，卷 用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上。
卷Ⅰ：（选择题共60分）
一、选择题（共12小题，每小题5分，计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 抛物线 的准线方程是 ，则 的值为（      ）  来源进步网szjjedu.com
A．    B．        C．8    D．-8
2．有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图     是直角梯形(如图所示，   则这块菜地的面积为(   ).
A．      B．  
C．        D． 
3.已知椭圆C：x22＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交C于点B，若 ＝3FB→，则|AF→|＝                     (　　)．
A. 3       B．2          C. 2           D．3
4. 直线y＝x＋3与曲线y29－x|x|4＝1(　　)  来源进步网szjjedu.com
A．没有交点   B．只有一个交点   C．有两个交点   D．有三个交点
5. 过双曲线 的左焦点 ，作圆 的切线交双曲线右支于点P，切点为T， 的中点 在第一象限，则以下结论正确的是 （  ）
A       B      
C       D 的大小不确定
（第1页共6页）

6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)．

A．16＋8π          B．8＋8π    C．16＋16π         D．8＋16π
7.直线y = x + b与曲线x= 有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（  ）      
（A）|b|=    （B） 或 （C）    （D）以上都错
8. 设F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|＝|F1F2|，且cos∠PF1F2＝45，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．3x±4y＝0     B．4x±3y＝0   C.3x±5y＝0   D．5x±4y＝0
9. 圆 与 轴交于A、B两点，与 轴的一个交点为P，
则 等于（    ）
  A.         B.          C.        D. 

10.直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为
A、B、C、D，则|AB||CD|的值为(　　)  
A．16      B．4        C.14       D.116 
11. 若圆 上至少有三个不同的点到直线 的距离为 ，则直线 的倾斜角的取值范围是(    )
(A)    (B)    (C)     (D)
(第2页，共6页)
12. 已知 是圆C： 上的任意一点，则 的最大值与最小值各位多少（  ）
     A.100,65   B.  65,20  C.100,20  D.100,45
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卷Ⅱ（非选择题  共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．
13．已知P是双曲线x264－y236＝1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点， 若|PF1|＝17，
则|PF2|的值为________．
14. 设直线 与圆 相交于 两点，且弦 的长为 ，则     .
15.设 分别是椭圆 的左，右焦点， 为椭圆上任一点，点 的坐标
为 ，则 的最大值为　　　　　．
16.已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择5个顶点，它们可能是如下各种几何形体的5个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号)　　　　.（其中 ）
①每个侧面都是直角三角形的四棱锥；
②正四棱锥；
③三个侧面均为等腰三角形与三个侧面均
为直角三角形的两个三棱锥的简单组合体
④有三个侧面为直角三角形，另一个侧面为等腰三角形的四棱锥

(第3页，共6页)

三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
已知三角形 的三个顶点是
（1） 求 边上的高所在直线的方程；
（2） 求 边上的中线所在直线的方程。
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18. （本小题满分12分）
已知点 及圆 ： .
(1)若直线 过点 且被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程；
(2)设过点P的直线 与圆 交于 、 两点，当 恰为 的中点时，
求以线段 为直径的圆 的方程．


(第4页，共6页)

19. （本小题满分12分）
学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x2100＋y225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M(0，647)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8,0)．观测点A(4,0)、B(6,0)同时跟踪航天器．
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？


20. （本小题满分12分）
已知圆C: 及直线 .
   （1）证明:不论 取什么实数,直线 与圆C恒相交；
   （2）求直线 与圆C所截得的弦长的最短长度及此时                           直线 的方程．




(第5页，共6页)
                                                             
21. （本小题满分12分）
已知长方形ABCD, AB=2 ,BC=1.以AB的中点 为原点建立如图所示的平面直角
坐标系 .
(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点P(0,2)的直线 交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线 ,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线 的方程;若不存在,说明理由.


22.（本小题12分）
设点P是圆x2+y2=4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为Po，且 ．
  （Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
  （Ⅱ）设直线 ：y=kx+m(m≠0)与（Ⅰ）中的轨迹C交于
不同的两点A，B．
        （1）若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求实数m的取值范围；
        （2）若以AB为直径的圆过曲线C与x轴正半轴的交点Q，求证：直线 过定点(Q点除外)，并求出该定点的坐标．

答案
一、 选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B B D A A B B A D B C
二、填空题
13. 33   14. 0   15.  15.  16. ①③④
三、解答题
17. 解：（1）如图，作直线 ，垂足为点 。
    ………………… 1分
  
   ………………3分
由直线的点斜式方程可知直线 的方程为：
                                      
  化简得：    ……………5分
（2）如图，取 的中点 ，连接 。
由中点坐标公式得 ，
即点    ……………………7分
由直线的两点式方程可知直线 的方程为：   ………………………9分
化简得：   ……………………………………10分

18. 解:（1）设直线 的斜率为 （ 存在），
则方程为 . 即 
又圆C的圆心为 ，半径 ，          
由题意知 ，  解得 .    …3分
所以直线方程为 ， 
即  .    ……4分   
当 的斜率不存在时， 的方程为 ，经验证 也满足条件.  ……6分
所以直线 的方程为 或 ………………………7分
（2）由于 ，……8分
所以弦心距 ，则 ……10分
故以 为直径的圆 的方程为 .   ……12分 
19. 解：(1)设曲线方程为y＝ax2＋647，由题意可知，0＝64a＋647，……2分
∴a＝－17.  
∴曲线方程为y＝－17x2＋647.   …………4分
(2)设变轨点为C(x，y)， 联立x2100＋y225＝1，y＝－17x2＋647，
得4y2－7y－36＝0.  
∴y＝4或y＝－94(不合题意，舍去)．  ………………6分
由y＝4得x＝6或x＝－6(不合题意，舍去)．
∴C点的坐标为(6,4)，…………10分
此时|AC|＝25，|BC|＝4.
故当观测点A、B测得AC、BC距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指令
……………………………12分

20. 解:(1)直线方程 ,
可以改写为 ,…………2分
所以直线必经过直线 的交点.
由方程组 解得 即两直线的交点为A  ………3分
又因为点 与圆心 的距离 ,         ……………4分
所以该点在 内,故不论 取什么实数,直线 与圆C恒相交…………5分
(2)连接 ,过 作 的垂线,此时的直线与圆 相交于 、 .
为直线被圆所截得的最短弦长.  …………7分
此时, .
即最短弦长为 .       ………………9分
又直线 的斜率 ,
所以直线 的斜率为2.  …………11分
此时直线方程为: …………………12分
21. [解析] (Ⅰ)由题意可得点A,B,C的坐标分别为 .
设椭圆的标准方程是 .
………………3分
     ………………5分
椭圆的标准方程是 ……………………6分
  (Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线 的方程为 .
设M,N两点的坐标分别为
联立方程: 消去 整理得,    …………7分
有
若以MN为直径的圆恰好过原点,则 ,
所以 ,                ………………………………9分
所以, ,
即
所以, …………………10分
即 得   …………………11分
所以直线 的方程为 ,或 .
所以存在过P(0,2)的直线 : 使得以弦MN为直径的圆恰好过原点…12分
22.解：（Ⅰ）设点 ， ，则由题意知 .
由 ， ，且 ，
得 .  
所以 于是      ……1分
又 ，所以 .
所以，点M的轨迹C的方程为 .…3分
（Ⅱ）设 ，  .  
联立 得 .       
所以， ，
即 .    ①    ………………5分
且       
（i）依题意， ，即 . 
.
，即 .
， ，…………………6分
解得 .将 代入①，得 .
所以， 的取值范围是  ……………………8分
（ii）曲线  与 轴正半轴的交点为 .
依题意， ， 即 .
于是 .
  ，
即 ，
.化简，
得 .   ……………….13分
解得， 或 ，且均满足 ……9分
当 时，直线 的方程为 ，直线过定点 (舍去)；  …10分
当 时，直线 的方程为 ，直线过定点 .  ………11分
所以，直线过定点 .   ………12分