河南郑州一中2013-2014学年高三数学(理科)上期中考试试题及答案

免费下载：河南郑州一中2013-2014学年高三数学(理科)上期中考试试题及答案
河南郑州一中2013-2014学年高三数学(理科)上期中考试试题及答案
第Ⅰ卷    （选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （   ）
A．        B．        C．      D．  
2. 若复数 满足： ( 是虚数单位)，则 的共轭复数 (    )
A．        B．        C．  D．
3. 某班有男生30人，女生20人．现按分层抽样的方法抽取
10人去参加座谈会，则女生应抽取人数为 (     )
   A．6        B．4        C．5       D．3
4．已知双曲线 的一条渐近线与直线
垂直，则双曲线的离心率是 (     )
A．       B．      C．  D．
5. 如果执行右边的程序框图，且输入 ，  ，则
输出的  (     )
A．240        B．120      C．720 D．360
6. 若 的展开式中 的系数为 ，则常数 （    ）
   A．1       B．3       C．4       D．9
7. 已知 是等差数列，且 ，则
（    ）
A．14         B.21     C.  28       D. 35
8. 如右图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的
体积为(     )
A．1      B．       C．       D． 
9. 将一颗骰子掷两次，观察出现的点数并设第一次出现的点数为 ，第二次出现的点数为 ，向量 ，  ，则 与 共线的概率为（    ）
A．        B．        C．   D．
10. 实数 满足条件：  ，则  的最小值是（　　）
A．16         B. 4     C. 1       D. 
11. 设锐角 的内角 对边分别为 ，若 则 的取值范围是（　 ）
A．        B．        C．       D．  
12. 设 的定义域为 ，若 满足下面两个条件则称 为闭函数：① 是 上单调函数；②存在 ，使 在 上值域为 . 现已知 为闭函数，则 的取值范围是（     ）
A．        B．        C．       D．  

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
13. 已知向量 ， ， ，若 ，则               .
14. 由曲线 与 所围成的封闭图形的面积为               ．
15. 已知 ，则  　   .
16. 给出下列命题：
①已知命题 ： ，命题 ： ，则命题 为真；
②函数 在定义域内有且只有一个零点；
③数列 满足： ，且 ，则 ；
④设 ，则 的最小值为 .
其中正确命题的序号是                   .

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分10分）
已知数列 满足 ， .
(Ⅰ)求数列 的通项公式；
(Ⅱ)设 ，求数列 的前 项和 .

18. （本小题满分12分）
如图，斜三棱柱 的底面是直角三角形， ，点 在底面内的射影恰好是 的中点，且 .
(Ⅰ)求证：平面 平面 ；
(Ⅱ)若二面角 的余弦值为 ，
设 ，求 的值.


19. （本小题满分12分）
有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.
优秀 非优秀 总计
甲班 10 
乙班  30
合计   105
已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为 .
(Ⅰ)请完成上面的列联表；
(Ⅱ)根据列联表的数据，若按 的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系” ;
(Ⅲ)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到6或10号的概率.
参考公式:          
参考数据：

0.10 0.05  0.025  0.010

2.706 3.841 5.024 6.635

20. （本小题满分12分）
如图，已知椭圆 的焦点分别为 ，双曲线 ，设
为双曲线上异于顶点的任意一点，直线 和 与椭圆的交点分别为A、B和C、D.
(Ⅰ)设直线 、 的斜率分别为 、 ，求： 的值；
(Ⅱ)是否存在常数 ，使得 恒成立？
若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.

21. （本小题满分12分）
已知函数 .
(Ⅰ)求函数 的单调区间；
(Ⅱ)记函数 的图象为曲线 .设点 , 是曲线 上的不同两点.如果在曲线 上存在点 ，使得：① ；②曲线 在点 处的切线平行于直线 ，则称函数 存在“中值相依切线”.试问：函数 是否存在“中值相依切线”，请说明理由.

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如右图，已知 与圆 相切于点 ，经过点 的割线 交圆 于点 ， 的平分线分别交 于点 .
(Ⅰ)证明： ；      
(Ⅱ)若 ，求 的值.


23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，以原点 为极点，以 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系 取相同的长度单位，建立极坐标系. 设曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的极坐标方程为 .
(Ⅰ)写出曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；(Ⅱ)求曲线 上的点到直线 的最大距离.

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
若不等式 对满足 的一切正实数
恒成立，求实数 的取值范围.

答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C B A D C C B D D C B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
13.        14. 1       15.           16. ①②③④
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.解：（1）∵ ，①  
∴当 时， ，②
①－②得， ，∴ ，③
又∵ 也适合③式，∴ .
（2）由（1）知 ，∴ ，④
，⑤
④－⑤得，
  ，   ∴  .

18. 解：(1)取 中点 ，连接 ，则 面 ，
  ， 
  ……………4分
（2）以 为 轴, 为 轴,过点 与面 垂直方向为 轴，建立空间直角坐标系……5分
设 ， 则
即
设面 法向量  ；面 法向量  …9分
  ……………11分      ……………12分

合计 30 75 105
19. 解：(Ⅰ)


(Ⅱ)根据列联表中的数据，得到
   
因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”.
(Ⅲ)设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）.
所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、……、（6，6），共36个.
事件A包含的基本事件有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）（4，6）、（5，5）、（6、4），共8个 .
20. （Ⅱ）设 ，则
因为点P在双曲线 上，所以
因此 ，即
   （Ⅲ）由于PF1的方程为 ，将其代入椭圆方程得
 
由违达定理得
所以
 
同理可得  则
又
所以
故
因此，存在 ，使 恒成立。
21. 解：（Ⅰ）显然函数 的定义域是 ．  
由已知得， ．   
⑴当 时, 令 ,解得 ; 令 ,解得 ．
所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减．    
⑵当 时，
\①当 时，即 时, 令 ,解得 或 ;令 ,解得 ．所以，函数 在 和 上单调递增,在 上单调递减;
②当 时，即 时, 显然，函数 在 上单调递增；
③当 时，即 时, 令 ,解得 或 ;令 ,解得 ．所以，函数 在 和 上单调递增,在 上单调递减．
综上所述，地方有限, 略．……6分 
（Ⅱ）假设函数 存在“中值相依切线”．
设 , 是曲线 上的不同两点，且 ，
则 ，  ．
      
曲线在点 处的切线斜率   ，          
依题意得：  ．
化简可得：   ，即 =  ．                
设  （ ），上式化为： ,    即 ．                                 
令 ,   ．因为 ,显然 ，所以 在 上递增,  显然有 恒成立．
所以在 内不存在 ,使得 成立．
综上所述，假设不成立．所以，函数 不存在“中值相依切线”.12分

22.解：（1）∵ 是切线， 是弦，∴ ，
∴ .
∵ ， ，∴ .
（2）由（1）知 ，又∵△ ∽△ ，∴ .
∵ ，∴ ，∴ .
由三角形内角和定理可知， .
∵ 是圆 的直径，∴ ，∴ ，
∴ .
在Rt△ 中， ，即 ，∴ ，∴  .

23. 解：（1）由 ，得 .
由 ，得 ，
所以，直线 的直角坐标方程为 .
（2）在 上任取一点 ，
则点 到直线 的距离为 ，
所以当 时，曲线 上的点到直线 的最大距离为 .
24.解：根据柯西不等式有
  .
又 恒成立， ，
或 ，即 或 ，
所以 的取值范围是