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免费下载:北京市朝阳区2013—2014学年高三数学(文科)上期中考试试题和习题及答案
北京市朝阳区2013—2014学年高三数学(文科)上期中考试试题和习题及答案
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知集合 , .若 ,则实数 的值是
A. B. C. 或 D. 或 或
2.命题 :对任意 , 的否定是
A. :存在 , B. :存在 ,
C. :不存在 , D. :对任意 ,
3.执行如图的程序框图,则输出的 值等于
A.91 B. 55 C.54 D.30
4.已知 为第二象限角,且 ,则 的值是
A. B. C. D.
5.函数 是
A.奇函数且在 上是减函数 B.奇函数且在 上是增函数
C.偶函数且在 上是减函数 D.偶函数且在 上是增函数
6.已知平面向量 , , ,则下列说法中错误的是
A. ∥ B.
C.对同一平面内的任意向量 ,都存在一对实数 ,使得
D.向量 与向量 的夹角为
7.若 ,则
A. B.
C. D.
8.同时满足以下四个条件的集合记作 :(1)所有元素都是正整数;(2)最小元素为1;(3)最大元素为2014;(4)各个元素可以从小到大排成一个公差为 的等差
数列.那么 中元素的个数是
A.96 B.94 C.92 D.90
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.
9.在各项均为正数的等比数列 中,已知 , ,则公比 的值是 .
10.已知平面向量 满足 , , ,则| |= .
11.函数 的最小值是 .
12.在△ 中,角 所对的边分别为 ,且 ,
则 ;若 ,则 .
13.函数 的值域是 .
14.已知函数 ( ),数列 满足 , , .则 与 中,较大的是 ; 的大小关系是 .
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)
已知函数 .
(Ⅰ)求函数 的最小正周期及最小值;
(Ⅱ)若 为锐角,且 ,求 的值.
16.(本小题满分13分)
在△ 中,角 所对的边分别为 ,若 , .
(Ⅰ)求△ 的面积;
(Ⅱ)若 ,求 的值.
17.(本小题满分13分)
已知数列 , 的通项 , 满足关系 ,且数列 的前 项和 .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)求数列 的前 项和 .
18.(本小题满分14分)
已知函数 , .
(Ⅰ)若函数 在 上至少有一个零点,求 的取值范围;
(Ⅱ)若函数 在 上的最大值为 ,求 的值.
19.(本小题满分14分)
已知函数 , .
(Ⅰ)求函数 的单调递增区间;
(Ⅱ)设点 为函数 的图象上任意一点,若曲线 在点 处的切线的斜率恒大于 ,求 的取值范围.
20.(本小题满分13分)
如果项数均为 的两个数列 满足 且集合 ,则称数列 是一对 “ 项相关数列”.
(Ⅰ)设 是一对“4项相关数列”,求 和 的值,并写出一对“ 项相关数列” ;
(Ⅱ)是否存在 “ 项相关数列” ?若存在,试写出一对 ;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)对于确定的 ,若存在 “ 项相关数列”,试证明符合条件的 “ 项相关数列”有偶数对.
答案
一、选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B D B C A B
二、填空题:
题号 9 10 11 12 13 14
答案
三、解答题:
15. 解:
.
(Ⅰ)函数 的最小正周期为 ,
函数 的最小值为 . ┅┅┅┅┅┅ 7分
(Ⅱ)由 得 .
所以 .
又因为 ,所以 ,
所以 .
所以 . ┅┅┅┅┅┅ 13分
16. 解:(Ⅰ)因为 ,
所以 .
又因为 ,所以 .
因为 ,
所以 . ┅┅┅┅┅┅ 7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 .
又因为 , ,
所以 .
所以 . ┅┅┅┅┅┅ 13分
17. 解:
(Ⅰ)当 时, ;
当 时, .
验证 ,所以 . ┅┅┅┅ 6分
(Ⅱ)由 ,得 .
因为 ,所以数列 是以 为首项, 为公比的等比数列.
. ┅┅┅┅┅┅ 13分
18.解:(Ⅰ)依题意,函数 在 上至少有一个零点
即方程 至少有一个实数根.
所以 ,
解得 . ┅┅┅┅┅┅ 5分
(Ⅱ)函数 图象的对称轴方程是 .
① 当 ,即 时, .
解得 或 .又 ,
所以 .
② 当 ,即 时,
解得 .又 ,
所以 .
综上, 或 . ┅┅┅┅┅┅ 14分
19.解:(Ⅰ) 依题意, 的定义域为 ,
.
①当 时,
令 ,解得 ,所以函数 在 上是增函数;
②当 时,
令 ,解得 或 ,所以函数 在 和 上是增函数;
③当 时,
在 上恒成立,所以函数 在 是增函数;
④当 时,
令 ,解得 或 ,所以函数 在 和 上是增函数.
综上所述,
①当 时,函数 的单调递增区间是 ;
②当 时,函数 的单调递增区间是 和 ;
③当 时,函数 的单调递增区间是 ;
④当 时,函数 的单调递增区间是 和 . ┅┅┅┅┅┅7分
(Ⅱ)因为函数 在点 处的切线的斜率大于 ,
所以当 时, 恒成立.
即当 时, 恒成立.
方法1:
设 ,函数 的对称轴方程为 .
(ⅰ)当 时, 在 时恒成立.
(ⅱ) 当 时,即 时,在 时,函数 成立,则方程 的判别式 ,解得 .
(ⅲ)当 时,即 时, 在 上为增函数, 的取值范围是 ,则在 时,函数 不恒成立.
综上所述, 时,在函数 的图象上任意一点 处的切线的斜率恒大于 .
方法2:
由 在 时恒成立,得 时, .
(ⅰ)当 时, 恒成立;
(ⅱ)当 时,上式等价于 , ,由于此时 为减函数, 的取值范围是 ,只需 ;
(ⅲ)当 时, 上式等价于 ,设 ,则 ,当 时, (当且仅当 时等号成立).则此时 .
则在 上,当 时,在函数 的图象上任意一点 处的切线的斜率恒大于 . ┅┅┅┅┅ 14分
20.解:(Ⅰ)依题意, ,相加得,
,又 ,
则 , .
“4项相关数列” :8,4,6,5; :7,2,3,1(不唯一) ┅┅┅ 4分
参考:
(“4项相关数列”共6对:
:8,5,4,6; :7,3,1,2
或 :7,3,5,8; :6,1,2,4
或 :3,8,7,5; :2,6,4,1
或 :2,7,6,8; :1,5,3,4
或 :2,6,8,7; :1,4,5,3
或 :8,4,6,5; :7,2,3,1
(Ⅱ)不存在.
理由如下:假设存在 “10项相关数列” ,
则 ,
相加得
.
又由已知 ,
所以 ,显然不可能,所以假设不成立.
从而不存在 “10项相关数列” . ┅┅┅┅┅┅ 8分
(Ⅲ)对于确定的 ,任取一对 “ 项相关数列” ,
令 , ,
(先证 也必为 “ 项相关数列”)
因为
又因为 ,很显然有 ,
所以 也必为 “ 项相关数列”.
(再证数列 与 是不同的数列)
假设 与 相同,则 的第二项 ,又 ,则 ,即 ,显然矛盾.
从而,符合条件的 “ 项相关数列”有偶数对. ┅┅┅┅┅┅ 13分
海淀区高三年级第一学期期中练习
数学(文科) 2013.11
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合 , ,则 ( )
A.
B.
C.
D.
2. 下列函数中,为奇函数的是( )
A.
B.
C.
D.
3. 已知向量 ,且 ,则实数 的值为( )
A.
B.
C.
D.
4.“ ”是“ ”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知数列 的前 项和为 ,且 ,则 取最小值时, 的值是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6.若函数 在 上单调递增,则实数 的取值范围( )
A.
B.
C.
D.
7.若函数 存在极值,则实数 的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知点 , 是函数 图象上不同于 的一点.有如下结论:
①存在点 使得 是等腰三角形;
②存在点 使得 是锐角三角形;
③存在点 使得 是直角三角形.
其中,正确的结论的个数为( )
A. 0 B.1 C. 2 D. 3
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
9. 函数 的定义域是____________.
10.已知 ,则 ________.
11. 已知等差数列 的前n项和为 ,若 ,则公差 ___________.
12.函数 的图象如图所示,
则 ______________, __________.
13. 向量 在正方形网格中的位置如图所示.
设向量 ,若 ,则实数 __________.
14.定义在 上的函数 满足:
①当 时, ② .
(i) ;
(ii)若函数 的零点从小到大依次记为 ,则当 时, _____________.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分14分)
已知函数 .
(I)求 的最小正周期;
(II)求 在区间 上的取值范围.
16.(本小题满分13分)
在 中, , .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)求 的值.
17.(本小题满分13分)
已知等比数列 满足 .
(I)求数列 的通项公式;
(II)若 ,求数列 的前 项和公式.
18.(本小题满分13分)
如图,已知点 ,函数 的图象上的动点 在 轴上的射影为 ,且点 在点 的左侧.设 , 的面积为 .
(I)求函数 的解析式及 的取值范围;
(II)求函数 的最大值.
19.(本小题满分14分)
已知函数
(I)当 时,求曲线 在点 处的切线方程;
(II)求 的单调区间;
(III)若函数 没有零点,求 的取值范围.
20.(本小题满分13分)
已知数列 的首项 其中 ,
令集合 .
(I)若 ,写出集合 中的所有的元素;
(II)若 ,且数列 中恰好存在连续的7项构成等比数列,求 的所有可能取值构成的集合;
(III)求证: .
答案:
7.B 2、D 3、C 4、A 5、B 6、A 7、A 8、B
9、 10、1 11、3 12、 , 13、3 14、答案:3;
15、解:(I) ---------------------------------------2分
-------------------------------------------------4分
-------------------------------------------------6分
最小正周期为 , -------------------------------------------------8分
(II)因为 ,所以 --------------------------------------10分
所以 ---------------------------------------12分
所以 ,所以 取值范围为 .---------------14分
16、解:(Ⅰ)由 和 可得 , ---------------------------2分
所以 , --------------------------------------3分
又
所以 . ------------------------------------5分
(Ⅱ)因为 , ,
由余弦定理 可得 ------------------------------------7分
,即 . ------------------------------------9分
由正弦定理 可得 ,---------------------------------12分
所以 .------------------------------------13分
17、解:(I)设等比数列 的公比为 ,
由 得 ① ----------------------------------2分
由 得 ②--- -------------------------------4分
两式作比可得 ,所以 , ------------5分
把 代入②解得 ,-- --------------------------------6分
所以 . ----------------------------------7分
(II)由(I)可得 ------------------------------8分
易得数列 是公比为4的等比数列,由等比数列求和公式可得
.--------- ---------------------13分
18、解:(I)由已知可得 ,所以点 的横坐标为 ,----------------------------2分
因为点 在点 的左侧,所以 ,即 .
由已知 ,所以 , ----------------- ------------------4分
所以
所以 的面积为 .------------------ --- ---6分
(II) ------------------------------------7分
由 ,得 (舍),或 . ---------------------------------8分
函数 与 在定义域上的情况如下:
2
+ 0
↗ 极大值 ↘
------------------------------------------------12分
所以当 时,函数 取得最大值8. --------------------------------------------13分
19、解:(I)当 时, , ------------------------------1分
, -------------------------------------3分
所以切线方程为 --------------------------------------5分
(II) ----------------------------------6分
当 时,在 时 ,所以 的单调增区间是 ;-----8分
当 时,函数 与 在定义域上的情况如下:
0 +
↘ 极小值 ↗
(III)由(II)可知
①当 时, 是函数 的单调增区间,且有 , ,
所以,此时函数有零点,不符合题意; ---------------11分
②当 时,函数 在定义域 上没零点; --------------12分
③当 时, 是函数 的极小值,也是函数 的最小值,
所以,当 ,即 时,函数 没有零点-------13分
综上所述,当 时, 没有零点. -------------------14分
20、解:(I)集合 的所有元素为:4,5,6,2,3,1..-------------------------------3分
(II)不妨设成等比数列的这连续7项的第一项为 ,
如果 是3的倍数,则 ;如果 是被3除余1,则由递推关系可得 ,所以 是3的倍数,所以 ;如果 被3除余2,则由递推关系可得 ,所以 是3的倍数,所以 .
所以,该7项的等比数列的公比为 .
又因为 ,所以这7项中前6项一定都是3的倍数,而第7项一定不是3的倍数(否则构成等比数列的连续项数会多于7项),
设第7项为 ,则 是被3除余1或余2的正整数,则可推得
因为 ,所以 或 .
由递推关系式可知,在该数列的前 项中,满足小于2014的各项只有:
或 , 或 ,
所以首项 的所有可能取值的集合为
{ , }. -----------------------8分
(III)若 被3除余1,则由已知可得 , ;
若 被3除余2,则由已知可得 , , ;
若 被3除余0,则由已知可得 , ;
所以 ,
所以
所以,对于数列 中的任意一项 ,“若 ,则 ”.
因为 ,所以 .
所以数列 中必存在某一项 (否则会与上述结论矛盾!)
若 ,结论得证.
若 ,则 ;若 ,则 ,
所以 . -----------------------------------------13分
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