江苏泰州市姜堰区2013—2014学年高三上数学期中考试试题

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江苏泰州市姜堰区2013—2014学年高三上数学期中考试试题
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应的答题线上．）
1．集合 ， ，则     ▲    ．来源苏州进步网www.szjjedu.com
2．“  ”的否定是    ▲    ．
3．函数 的定义域为    ▲    ．
4．函数 的值域为    ▲    ．
5．     ▲    ．
6．已知 ，则     ▲    ．
7．数列 满足 ，若 ，则     ▲    ．
8．设等差数列 前 项和为 ，若 ，则     ▲    ．
9．设 是定义在 上的奇函数,当 时,  ( 为自然对数的底数),则 的值为    ▲    ．
10．已知全集 集合 ， ，
，若 ，则实数 的取值范围是    ▲    ．
11．已知方程 （其中 ）有两个相等的实根，则
   的最小值为    ▲    ．
12．已知函数 ，若 ，则 的取值范围是    ▲    ．
13．设 表示正整数 的个位数，例如 ， ，则数列 的前 项和等于    ▲    ．
来源苏州进步网www.szjjedu.com

14．如图， 是直线上三点， 是直线外一点， ， ， ，则 ＝    ▲    ．

二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分14分）
设已知 ， ，其中 ．
(Ⅰ)若 ，且 ，求 的值；
(Ⅱ)若 ，求 的值．来源苏州进步网www.szjjedu.com


16．（本题满分14分）
不等式组 表示的平面区域为A．
(Ⅰ)画出平面区域A，并求面积；
(Ⅱ)点 在平面区域内，求 的取值范围；
(Ⅲ)一次函数 的图像平分区域A的面积，求 ．


17．（本题满分14分）
已知等差数列 中， ．
(Ⅰ)求数列 的前 项和 的最小值；
(Ⅱ)求数列 的前 项和 ．


18．（本题满分16分）
已知函数 .
(Ⅰ)若 ，
(i)求曲线 在点 处的切线方程，
(ii)求 在区间 上的最大值；
(Ⅱ)若当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.


19．（本题满分16分）
某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC,CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA,AD用一根9米长的材料弯折而成，要求 和 互补，且AB=BC．
(Ⅰ)设AB=x米，cosA= ,求 的解析式，并指出x的取值范围；
求四边形ABCD面积的最大值．


20．(本题满分16分)
设 的三边长分别为 ，面积为 ，已知 ， .
(Ⅰ)求数列 的通项公式；
(Ⅱ)求证：无论 取何正整数， 恒为定值；
(Ⅲ)判断函数 的单调性，并加以说明.


数学Ⅱ
21．(本题分A、B两题，每题10分)
A．已知二次函数 有两个零点1,2，且在 轴上的截距为3. 来源苏州进步网www.szjjedu.com
(Ⅰ)求函数 的解析式；(Ⅱ)求函数 在区间[0,3]上的值域.

B．在等比数列 中.
(Ⅰ)已知 ，求 ；(Ⅱ)已知 ，求 .

22．(本题10分)
设平面向量 ,若存在实数 和角 ,其中 ，使向量 ,且 .
(Ⅰ)求 的关系式;
(Ⅱ)若 ,求 的最小值,并求出此时的 值.


23．(本题10分)
已知 .
(Ⅰ)若函数 在区间 上有极值，求实数 的取值范围；
(Ⅱ)若关于 的方程 有实数解，求实数 的取值范围；
(Ⅲ)当 ， 时，求证： .

参考答案
一、填空题：
1.     2.    3.    4.       5. 1     6.     7. 8      
8.3     9.      10.     11.     12 .     13.2     14. 
二、解答题
15.解：(Ⅰ)∵ ，∴ ，----------------2分
∴ ，∴ ，----------------------4分
而 ，∴ ，∴ ，即 ，------6分
又 ，所以， ---------------------------7分
(Ⅱ)
----------------------10分
           ∴ ，即
           ∴ -------------------------14分

16.解：(Ⅰ)不等式 表示直线 及直线下方的平面区域；不等式 表示直线 及直线上方的平面区域；不等式 表示直线 及直线左侧的平面区域。所以，这三个平面区域的公共部分，就是原不等式组所表示的平面区域。


                                                -------------------------2分

        由图像可得： --------------------------4分
(Ⅱ)将目标函数变形为 ，平移直线 ，当它经过 时截距 最大为12；当它经过 时截距 最小为0.所以 的取值范围是 ------8分
(Ⅲ) 的图像经过区域A时， ，------------------9分
    当 时， ，∴ ------11分
           当 时， ，∴ （舍）----13分
           ∴ ---------------------------------------------14分

17. 解：（Ⅰ）a1 = –19，5a5 = 11a8，5(a1+4d) = 11(a1+7d)，5a1+20d = 11a1 + 77d，
           ∴6a1 = –57d，即6×(–19) = –57×d，∴d = 2---------------2分
∴an = –19 + (n-1)×2= 2n – 21--------------------------3分
当an＜0时，2n＜21，n＜ ，即当n≤10时，an＜0，当n＞11时，an＞0
∴Sn最小值为S10-------------------------------------6分
S10 = 10×(–19)+  = –100----------------------------7分
（Ⅱ）∵a10＜0，a11＞0
             当n≤10时，Tn = –a1–a2……–an= –Sn =–n2+20n------------------10分
             当n≥11时，Tn = –a1–a2……–a10+a11+a12+……+an= Sn–2S10= n2–20n+200----13分
–n2+20n      n≤10
∴Tn =                              --------------------------14分
                     n2–20n+200   n≥11
18. （Ⅰ）（i）f '(x) = 3x2–2ax，f '(1) = 3–2a = 3，∴a = 0，∴y=x3-------------------2分
f(1)=1，f ' (x) = 3x2，f ' (1) = 3，∴切点（1，1），斜率为3，y = 3x–2------------4分
（ii）f(x) = x3，f ' (x) = 3x2≥0，∴f(x)在[0，2]，∴f(x)最大值=f(2)=8-----------8分
（Ⅱ）x3–ax2+x≥0对x∈[0，2]恒成立，∴ax2≤x3+x-------------------10分
          当x = 0时成立---------------------------------------12分
          当x∈（0，2]时a≤x+ ，∵x+ ≥2，在x=1处取最小值--------15分
∴a≤2---------------------------------------16分

19. 解：(Ⅰ)在△ABD中，由余弦定理得
。
同理，在△CBD中， ----3分
因为∠A和∠C互补。
所以 =
= ．---5分
即 ．
解得 ，即 ，其中 ．------- ------------------8分
(Ⅱ)四边形ABCD的面积

             ．------11分
记 ， ．
由 ，
解得： ． ------------------------------------14分
函数 在区间（2，4）内单调递增，在区间（4，5）内单调递减
因此 的最大值为 ．
所以S的最大值为 ．
答：所求四边形ABCD面积的最大值为 ．---------------------------- 16分
20. （Ⅰ）an+1 = an，∴a1=4，∴an=4，∴bn+1= ， ----- 2分
∴ ，∴b1–c1=5–3=2，∴{bn–cn}为等比，
∴bn–cn =  -------------------- --------------------------------4分
（Ⅱ）∵bn+1 = ，cn+1= ，∴bn+1+ cn+1 =  ----------------6分
      bn+1+ cn+1–8= = ，而b1+c1–8=5+3–8=0，∴bn+cn–8=0
∴bn+cn=8------------------- --------------------------------8分
（Ⅲ）法一：
an = 4
bn–cn = ，∴bn = 4+ ，cn =4– --------------10分
bn+cn=8
  令m =  ，则an = 4，bn = 4+m，cn = 4–m，∴cosA = 
∴sinA =  --------------------------------------12分
f(n) = SABC = = 
         =  -------------------------14分
当n增大时， 减小， 增大，∴f(n) 递增-------------------16分
法二：∵BnCn = 4       AnBn+AnCn=8
∴An落在以Bn、Cn为焦点的椭圆上------------10分
∵|bn–cn|=
当n增大时， |bn–cn| 减小，即An点在向椭圆短轴端点靠近，
即BnCn边上的高在增大，则f(n)= 在增大------------14分
∴f(n)递增----------------------------------------16分
高三数学（Ⅱ）参考答案
21 A.解：（Ⅰ）设f(x)=a(x–1)(x–2)， f(0)=a•2=3，∴a=
∴f(x) = (x–1)(x–2) ---------------------------------5分
（Ⅱ）f(x)= (x2–3x+2)，当x= 时，f(x) = ，当x=0或3时 f(x) =3
∴值域为[ ，3] ---------------------------------10分
B解：（Ⅰ）a1 = 3，a6 = 96，q5 = 32，q = 2，
∴S5 = =3×31=93 ---------------------------------5分
（Ⅱ）∵a1 =1，an = 81，∴q≠1，∴qn-1 = 81，∴Sn = =121
∴1–81q=121–121q，∴40q=120，∴q=3------------------10分

22.解: (Ⅰ)∵ ,且 ，∴
       ∴ -----------------------5分 
      (Ⅱ)设 ,又∵ ，∴ ，则
          令 得 (舍去) 
        ∴ 时 , 时 ,∴ 时,即 时，
         为极小值也是最小值, 最小值为 .--------------------10分

23. 解：(Ⅰ) ，∴    
∴当 时， ；当 时， ；
∴函数 在区间（0，1）上为增函数；在区间 为减函数
∴当 时，函数 取得极大值，而函数 在区间 有极值.
∴ ，解得 .       ----------------------3分
(Ⅱ)由（Ⅰ）得 的极大值为 ，令 ，所以当 时，函数
取得最小值 ，又因为方程 有实数解，那么 ，
即 ，所以实数 的取值范围是： .                   ----------6分
(Ⅲ) 函数 在区间 为减函数，而 ，
∴ ∴ ，即                      
  ------8分
即 ，而 ，
∴ 结论成立.     ----------------------10分