浙东北（ZDB）三校2013-2014学年上高二数学(理科)期中考试试卷及

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浙东北（ZDB）三校2013-2014学年上高二数学(理科)期中考试试卷及答案
【考生须知】
1.本科考试分试题卷与答题卷，选择题在机读卡上作答，填空和解答题在答题卷上作答；
2.本科考试时间120分钟，满分为100分．
3.参考公式：来源苏州进步网www.szjjedu.com
球的表面积公式                         柱体的体积公式
（ 为球的半径）              其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高    
球的体积公式                           台体的体积公式
（ 为球的半径）             
其中R表示球的半径                     其中 分别表示台体的上、下底面积
锥体的体积公式                          表示台体的高
                              
其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高. 
一、选择题（本题共12题，每小题3分，共36分）
1．下列说法正确的是（    ）
A．三点确定一个平面      B． 四边形一定是平面图形   
C．梯形一定是平面图形    D． 平面 和平面 有不同在一条直线上的三个交点
2．直线 的斜率是（     ）
A．       B．        C．          D．
3．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（     ）
A．平行     B． 相交      C． 异面     D． 以上都有可能
4．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是以 为直角顶点的等腰
直角 ，若 ，那么原 的面积是（    ）A．           B．          C．          D．
5．已知如下命题，其中一定正确的是（　 　）
①若 ，则                   ②若 ，则               
③若 则              ④若 则
A．②③   　Ｂ．①③       C．①④        D．②④

6．右图是正方体的表面展开图，则下列描述正确的是（    ）
A.BM与ED平行   B．CN与BM相交
C. CN与BE异面   D．DM与BN垂直
7．设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,
下列命题正确的是（    ）
A．若 则        B．若 则 
C．若 则        D．若 则
8．已知不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是（  ）
A.      B.     C.      D. (2,3)
9. 球面上有四个点 , 两两互相垂直, ,则该球的表面积是（ ）
A.             B.           C.          D. 
10. 如图，已知可行域为 及其内部，若目标函数 当且仅当在点 处取得最大值，则 的取值范围是（    ）
Ａ．  Ｂ．  C．  D．
11．设 满足  ，     若目标函数 的最大值为 ，则 的最小值为（   ）
A.                B.             C.            D. 
12． 一个斜三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长5，若其中一条侧棱与底面三角形的相邻两边都成 角，则这个三棱柱的体积是（    ）
A．          B．        C．       D．
二、填空题（本题共6题，每小题3分，共18分）
13．已知直线 与直线 平行，则 的值是   ▲   ．
14．母线长为 的圆锥的侧面积为 ，则此圆锥展开图的中心角为    ▲    ．
15．若实数 满足不等式组 则 的最小值是    ▲  ．
16.若不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围为____▲___.
17．在三棱柱 中，侧棱都与底面垂直，且有
,点 是线段 的中点，则平面
与底面 所成的二面角的大小（锐角）是___▲___.
18．某几何体的一条棱长为 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 和 的线段，则 的最大值为    ▲  ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分）
19. （本题满分6分）
的三个顶点分别为
(1) 求 边上的中线所在直线的方程;
（2）求 边的垂直平分线的方程.



20. （本题满分6分）
某几何体的三视图如下，其中俯视图的内外均为正方形，正视图和侧视图是全等的等腰梯形，求此几何体的体积和表面积．
21.（本题满分8分）
已知正方体 , 是线段 上的异于端点 的点，
设 .
（1）当 是 中点时，异面直线 所成角的正切值;
  （2）求证： 面 .

22（本题满分8分）
如图1,在等腰 中, , , 分别是 上的点, , 为 的中点.将 沿 折起,得到如图2所示的四棱锥 ,其中 .
(1) 证明: 平面 ;      (2)求 与平面 所成角的正弦值.

23.(本题满分9分)
如图， 是圆柱的母线， 是圆柱底面圆的直径， 是底面圆周上异于 的任意一点， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积 最大时二面角 的大小
的余弦值.

24.（本题满分9分）
设 ， ， ， 且 ， 为常数．
   （1）当 时，求 的最大值；
   （2）若对任意 ，以 为三边长总能构成三角形，求 的取值范围．
参考答案
一、选择题（本题共12题，每小题3分，共36分）
CADBB   DCDAB  AD
二、填空题（本题共6题，每小题3分，共18分）
13.  ；  14.  ；   15.   ； 16.  或    17.        18.
三、解答题（本题共6题，共46分）
19. （本题满分6分）
的三个顶点分别为
(1) 求 边上的中线所在直线的方程;
（2）求 边的垂直平分线的方程.
19解：(1)  中点 ，                                              
          直线 斜率                                           
         中线所在直线的方程: 即             ………3分
（2）直线 斜率 ,                                       
边的垂直平分线的斜率为                                 
边的垂直平分线的方程 即         ………6分
20. （本题满分6分）
某几何体的三视图如下，其中俯视图的内外均为正方形，正视图和侧视图是全等的等腰梯形，求此几何体的体积和表面积．


20．解：体积         ……2分
依题意的侧面等腰梯形的高 ……4分
表面积   ……6分

21.（本题满分8分）
已知正方体 , 是线段 上的异于端点 的点，
设 .
（1）当 是 中点时，异面直线 所成角的正切值;
  （2）求证： 面 .
21.解：（1）∵ ,
∴锐角 即为异面直线 所成角           ………2分
即为所求。          ………4分
（2）由 ∽  ,知 ,
同理有 ,∵ ，∴ ………6分
∴ ,又 面 , 面 ,
∴ 面 .                           ………8分
22（本题满分8分）如图1,在等腰直角三角形 中, , , 分别是 上的点, ,
为 的中点.将 沿 折起,得到如图2所示的四棱锥 ,其中 .
(1) 证明: 平面 ;      (2)求 与平面 所成角的正弦值.

22．(1) 在图1中,易得 
连结 ,在 中,由余弦定理可得
  
由翻折不变性可知 ,
所以 ,所以 ,                                   ………2分
同理可证 , 又 ,所以 平面 .                ………4分
(2) 过 作 交 的延长线于 ,连结 ,
∵ 平面 , 面 ∴面 面 ,
∴ 面 ,∴ 即为 与平面 所成角.                    ………6分
又 , ,∴
与平面 所成角的正弦值为 .                                    ………8分

23.(本题满分9分)
如图， 是圆柱的母线， 是圆柱底面圆的直径， 是底面圆周上异于 的任意一点， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积 最大时二面角 的大小的余弦值.
23.（1）证明：（1）证明：∵ ⊥平面 ，  平面 .
∴ ，又 为斜边，∴ ，又 ，
∴ 平面 ,                                                      ……2分
又 面 ,∴面 平面 .                                  ……3分

（2）解：在 中， ，
设 ，则
，当 时取等号。
∴ 时三棱锥 的体积 最大，                              ……5分
取 中点 ，则 ,
∵ ⊥平面 ，∴
∴ 面 ，∴
做 于 ,连接
则 面
∴ 为二面角 的平面角。                                   ……7分
又∵ ,∴
                                                      ……9分
24.（本题满分9分）
设 ， ， ， 且 ， 为常数．
   （1）当 时，求 的最大值；
   （2）若对任意 ，以 为三边长总能构成三角形，求 的取值范围．
24.解：（1）                                     ……...2分
∵ ，∴ ，∴ ，当 时去等号，∴ 的最大值是1．  ……...4分
（2）∵   ∴
∴ ，即 对 恒成立    
∴ 对 恒成立                             ……...6分
∵ ( 去等号)，∴ ，       
又∵ ，∴ ，
综上得： 。                                                      ……...9分