湖南益阳市第一中学2013—2014学年高二上数学(理科)期中考试试题

免费下载：湖南益阳市第一中学2013—2014学年高二上数学(理科)期中考试试题及答案
湖南益阳市第一中学2013—2014学年高二上数学(理科)期中考试试题及答案
一、选择题 （每小题5分，共40分）
1、“ 粗缯大布裹生涯, 腹有诗书气自华。”，这句话说明 “腹有诗书”是“气自华”的
A.充分条件   B.必要条件   C.充分必要 条件   D.既非充分也非必要条件命题
2、“对任意 ，都有 ”的否定为来源进步网www.szjjedu.com
A.对任意 ，都有         B.不存在 ，都有  
C.存在 ，使得          D.存在 ，使得
3、正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值是
A.23     B.  63    C.23      D. 22 来源进步网www.szjjedu.com
4、 双曲线  与抛物线 有一个公共焦点F，过点F且垂直于实轴的弦长为 ，则双曲线的离心率等于
A.          B.         C.          D.
5、 已知双曲线 ： （ ）的离心率为 ，则 的渐近线方程为
A.     B.     C.     D.
6、 已知椭 圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 两点。若 的中点坐标为 ，则 的方程为    
A.         B.         C.     D.
7、设抛物线 的焦点为 ，点 在 上， ，若以 为直径的圆过点 ，则 的方程为
A. 或                 B. 或   
C. 或                D. 或  
8、在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为
；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为 .若 分
别为 的最小值、最大值，其中 ，
,则 满足.
A.          B.         
C.          D.
二.填空题 （每小题5分，共35分）

9、如图 ，在正方体 中， . 分别是 . 的中点，则异面直线 与 所成角的大小是_______

10、已知条件 ；条件 ，若p是q的充分不必要

条件，则a的取值范围是__________.

11、给出下列命题：

①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；

②命题“△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；
③命题“若a>b>0，则3a>3b>0”的逆否命题；

④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题.

其中真命题的序号为________.来源进步网www.szjjedu.com

12、 已知点 . . . ，则向量 在 方向上的投影为是________________________.
13、已知抛物线方程 ，则它的焦点坐标为_______
14、抛物线 上的点 到抛物线准线距离为 ，到直线 的距离为 ，
则 的最小值是________.
15、设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且 ，若AB=4， ，则椭圆

的两个焦点之间的距离为________

三.解答题 （共75分，16~18每题12分，19~21每题13分）
16、已知命题p：函数 是R上的减函数；命题q：在 时，不等式
恒成立，若pvq是真命题，求实数a的取值范围.

17、 设椭圆  的离心率为 = ,点 是椭圆上的一点,且点 到
椭圆 两焦点的距离之和为4.

(1)求椭圆 的方程；

(2)若椭圆 上一动点  关于直线 的对称点为 ,求 的取

值范围.

18、已知双曲线C： 与直线 :x + y = 1相交于两个不同的点A、B.

(1)  求双曲线C的离心率e的取值范围；

(2) 设直线 与y轴交点为P，且 ，求 的值
19、如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB＝4，

PA＝3，A点在PD上的射影为G 点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC.

（1）求证：AG∥平面PEC；

（2）求AE的长；

（3）求直线AG与平面PCA所成角的正弦值.

20、如图，正方形 所在平面与圆 所在平面相交于 ，线段 为圆 的弦，

垂直于圆 所在平面，垂足 是圆 上异于 、 的点， ，圆 的直径为9。

（1）求证：平面 平面 ；

（2）求二面角 的平面角的正切值。


21、已知抛物线 ，点 关于 轴的对称点为 ，直线 过点  交抛物线于
两点.

(1)证明 ：直线 的 斜率互为相反数； 

(2)求 面积的最小值；

(3)当点 的坐标为 ， 且 .根据（1）（2）推测并回答下列问题（不必说

明理由）：①直线 的斜率是否互为相反数？ ② 面积的最小值是多少？

参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8
A D B A C D C D
8. 作图知，只有 ，其余均有 ，易知应选D
二.填空题答案:
9.90。     10.      11. ①②③    12.  13. (0,  )    14.      15. 
三.解答题答案:
16. p：∵函数 是R上的减函数
∴0＜2a－5＜1，                                          ……3分
故有 ＜a＜3                                             ……4分
q：由x2－ax＋x＜0得ax＞x2＋2，∵1＜x＜2，
且a＞ 在x∈（1，2）时恒成立，               ……6分
又                                           
∴a≥3                                                         ……9分
p∪q是真命题，故p真或q真，所以有 ＜a＜3或a≥3               ……11 分
所以a的取值范围是a＞                                        ……12分
17. 解:(1)依题意知,                                                   
∵ , .                   
∴所求椭圆 的方程为 .                                   ……3分
（2）∵ 点  关于直线 的对称点为 ，
∴                                       
解得： ， .                            
∴ .                                                 ……10 分
∵ 点  在椭圆 : 上,∴ , 则 .
∴ 的取值范围为 .           ……12分
18. （1）由曲线C与直线相交于两个不同的点，知方程组 有两个不同的解，消去y并整理得：        得 且 双曲线的离心率
∵ ∴
即离心率e的取值范围为 . ……6分
（2）设
∵ ,∴ ，得
由于 是方程①的两个根，∴
即 ，   得 ，
解得            ……12分
19. 解（1）证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA    
∴CD⊥平面PAD   ∴CD⊥AG，
又PD⊥AG     
∴AG⊥平面PCD           …………2分
作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD 
∴EF⊥平面PCD  ∴EF∥AG
又AG  面PEC，EF  面PEC，
∴AG∥平面PEC     ………………4分

（2）由（1）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD  ∴ AE∥平面PCD
∴AE∥GF     ∴四边形AEFG为平行四边形，∴AE＝GF       …………5分
∵PA＝3，AB＝4    ∴PD＝5，AG＝ ，
又PA2＝PG•PD     ∴PG                        ……………………6分
又       ∴    ∴     ………………8分
（3）∵EF∥AG , 所以AG与平面PAC所成角等于EF与平面PAC所成的角 ，过E作EO⊥AC于O点，易知EO⊥平面PAC，又EF⊥PC，∴OF是EF在平面PAC内的射影∴∠EFO即为EF与平面PAC所成的角                                    ……10分
，   又EF＝AG 
∴     
所以AG与平面PAC所成角的正弦值等于310 2            ………………13分

20. (1)证明：∵ 垂直于圆 所在平面， 在圆 所在平面上，
∴  。
在正方形 中， ，
∵ ，∴ 平面 .∵ 平面 ，
∴平面 平面 。 ……………………………………………6分
（2）∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 。
∴ 为圆 的直径，即 .
设正方形 的边长为 ，
在 △ 中， ，
在 △ 中， ，
由 ，解得， 。 ∴ 。
过点 作 于点 ，作 交 于点 ，连结 ，
由(1)知 平面 。∵ 平面 ，
∴ 。∵ ， ，
∴ 平面 。∵ 平面 ，∴ 。
∴ 是二面角 的平面角。…………………………………10分
在 △ 中， ， ， ，
∵ ，∴ 。
在 △ 中， ，,∴ 。
故二面角 的平面角的正切值为 。 …………………………13分

21.（1）设直线 的方程为 .
由   可得  .
设 ，则 .-------3分
∴  ∵
.
又当 垂直于 轴时，点 关于 轴，显然 .
综上， .      ----------8分
（2） = .
当 垂直于 轴时， .
∴ 面积的最小值等于 .      -----------11分
（3）推测：① ；
② 面积的最小值为 .   ----------- 13分
4. （1）由题意可得点M（x,y）到两定点F1（0， ）、F2（0，- ）的距离和为4，故轨迹C是以F1、F2为焦点的椭圆，其方程为  x2+ =1.
（2）显然x=-2与曲线C无交点，故直线L的斜率存在，设直线L的方程为y=k(x+2),并设点A、B的坐标分别为A（x1,y1）、B（x2,y2）.
由 得（4+k2）x2+4 k2x+4 （k2-1）=0
△=16k4-16（4+ k2）（k2-1）=-16(3 k2-4)＞0  k2＜
∴x1+x2=-   ①      x1x2=   ②
∵ = +    ∴四边形OAPB为平行四边形
若存在直线L使得四边形OAPB为矩形，则 • =0
∴x1x2+ y1y2=（1+ k2）x1x2+2k2（x1+x2）+4k2=0  ③
将①②代入③解得k2=
设P（x0,y0），则x0= x1+x2=- ,故点P不在直线x=- 上
即不存在这样的直线L使得四边形OAPB为矩形.
另解提示:解答第(2)题时,如果先利用OP中点即为AB的中点,可以求得k2= .与上面的解法一样还可求得k2= ,这是不可能的,所以不存在这样的直线L使得四边形OAPB为矩形