江苏扬州市扬州中学2013-2014学年高二上数学期中考试试题及答案

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江苏扬州市扬州中学2013-2014学年高二上数学期中考试试题及答案
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）
1．抛物线 的焦点坐标是    ▲    ．
2．命题“ .”的  否定是    ▲    ．来源进步网www.szjjedu.com
3．设 是正方体的一条棱，这个正方体中与 平行的棱共有   ▲    条．
4．“ 且 ”是“ ”成立的     ▲   条件．（填充分不必要，必要不充分，充要条件或既不充分也不必要）
5．已知椭圆 上一点 到左焦点 的距离是2，则 到左准线的距离为
    ▲   ．
6．曲线 在点 处的切线方程为    ▲    ．来源进步网www.szjjedu.com
7.在平面直角坐标系 中，已知双曲线 ： （ ）的一条渐近线与直线 ：  垂直，则实数    ▲     ．
8.函数 的单调增区间为    ▲    ．
9．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径之比为1：2，母线长为6cm，则圆锥的母线长为    ▲    cm．
10．函数 在区间[0，π]上的最小值为    ▲    ．来源进步网www.szjjedu.com
11．设命题 ；命题 ．若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是 　▲   ．
12．已知函数 在定义域内是增函数，则实数 的取值范围为
   ▲    ．来源进步网www.szjjedu.com

13.如图，已知椭圆C： ， 是其下顶点， 是其右焦点， 的延长线与椭圆及其右准线分别交于 两点，若点 恰好是线段 的中点，则此椭圆的离心率     ▲     ．
14．设 ，函数 ，若对任意的 ，都有 成立，则 的取值范围为    ▲       ．
二、解答题（本大题共6小题 ，计90分）
15. （本题满分14分）如图，在三棱锥 中， 分别是边 的中点．来源进步网www.szjjedu.com
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ，求证： 是菱形．




15．（本题满分14分）设命题 ：关于 的方程 有实数根；命题 ：关于 的不等式 的解集是 ．若“ 或 ”为真，“ 且 ”为假，求 的取值范围．



17. （本题满分15分）已知椭圆 与椭圆 有相同的焦点，且过点 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
⑵若P是椭圆 上一点，F1、F2为椭圆 的左、右焦点，PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．


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18. （本题满分15分）现有一张长80厘米、宽60厘米的长方形 铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒， 要求材料利用率为l00％，不考虑焊接处损失．来源进步网www.szjjedu.com
方案一：如图(1)，从右侧两个角上剪下两个小正方形，焊接到左侧中闻，沿虚线折起，求此时铁皮盒的体积；
方案二：如图(2)，若从长方形 的一个角上剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，求该铁皮盒体积的最大值，并说明如何剪拼?



19．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系 中，已知 分别是椭圆
E: 的左、右焦点， 分别是椭圆E的左、右顶点，且 .
（1）求椭圆E的离心率；来源进步网www.szjjedu.com
（2）已知点 为线段 的中点，M 为椭圆 上的动点（异于点 、 ），连接 并延长交椭圆 于点 ，连接 、 并分别延 长交椭圆 于点 、 ，连接 ，设直线 、 的斜率存在且分别为 、 ，试问是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在，求出 的值；若不存在 ，说明理由.



20. （本题满分16分）已知函数 ,其中 是实数.设
, 为该函数图象上的两点,且 .
(1)指出函数 的单调区间;
(2)若函数 的图象在点 处的切线互相垂直,且 ,求 的最小值；
(3)若函数 的图象在点 处的切线重合,求 的取值范围．来源进步网www.szjjedu.com

参考答案
1. ；2. ；3.3 ；4.充分不必要； 5.  ；6. ；7.2 ；
8. ； 9.12 ； 10.  ； 11.  ；12. ；13.  ；14.
15.（1） 为 的中点， 且 ．来源进步网www.szjjedu.com
为 的中点， 且 ．
由平行公理， 且 ，所以四边形 是平行四边形；
（2） ，同理 ， ， ．
由（1）四边形 是平行四边形，所以四边形 是菱形．
16. 真： 或 ， 真：
因为“ 或 ”为真，“ 且 ”为假，则 一真一假。
若 真 假 或 ，若 真 假
综上： 的范围是 来源进步网www.szjjedu.com
17.（1） ；（2）∵ ，PF1+PF2=4，∴PF1•PF2=2，
=  
18．方案一：设小正方形的边长为 ，由题意得 ， ，
所以铁皮盒的体积为 ．
方案二：设底面正方形的边长 为 ，长方体的高为 ，
由题意得 ，即 ，
所以铁皮盒体积 ，  来源进步网www.szjjedu.com
，令 ，解得 或 （舍），
当 时， ；当 时， ，所以函数 在 时取得最大值 ．将余下材料剪拼成四个长40cm，宽20cm的小长方形作为正方形铁皮盒的侧面即可．
答：方案一铁皮盒的体积为 ；方案二铁皮盒体积的最大值为 ，将余下材料剪 拼成四个长40cm宽20cm的小长方形作为正方形铁皮盒的侧面即可．
19．解：（1）  ， . ，化简得 ，
故椭圆E的离心率为 .
（2）存在满足条件的常数 ， .点 为线段 的中点， ，从而 ， ，左焦点 ，椭圆E的方程为 .设 ， ， ， ，则直线 的方程为 ，代入椭圆方程 ，整理得， . ， .从而 ，故点 .同理，点 . 三点 、 、 共线， ，从而 .
从而 .
故 ，从而存在满足条件的常数 ， .
20解:（1）函数 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 , 
（2）由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为 ,点B处的切线斜率为 ,故当点A处的切线与点B处的切垂直时,有 .
当 时,对函数 求导,得 .
因为 ,所以 ,
所以 .
因此 
当且仅当 = =1,即 且 时等号成立.
所以函数 的图象在点 处的切线互相垂直时, 的最小值为1 
（3）当 或 时, ,故 .
当 时,函数 的图象在点 处的切线方程为
,即 
当 时,函数 的图象在点 处的切线方程为
, 即 .
两切线重合的充要条件是 
由①及 知, .
由①②得, .
令 ，则 且 。
设 ，则
所以 在 为减函数。则 ，而当 趋近于0时， 无限增大，所以 的取值范围是 。
故当函数 的图象在点 处的切线重合,求 的取值范围是 。