浙江杭州市七校联考2013—2014学年高三上数学（理科）期中考试试

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浙江杭州市七校联考2013—2014学年高三上数学（理科）期中考试试题及答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把答案写在答题卷中相应的位置上）
1、已知全集 ， ， ，那么 （　  ）
   A．          B．      C．        D．
2、在等差数列 中， ，则公差 等于（   ）
A．1                 B．                   C．2                 D．－2
3、若实数 满足不等式组 ，则 的最小值为（    ）
    A.                 B.                  C.1                  D.2
4、等比数列 中， ，则“ ”是“ ” 的（   ）
A.充分而不必要条件                           B．必要而不充分条件
C．充要条件                                  D．既不充分也不必要条件
5、已知 ，则 等于（  ）
A．                B．                 C．                D．
6、已知函数 ，则不等式 的解集是（   ）
A．                          B．
C． 或             D． 或
7．已知函数 ，若 且 在区间 上有最小值，无最大值，则 的值为（    ）
A．                B．                  C．               D． 
8、数列 满足 并且 ，则数列 的第100项为（    ）
A．                B．                C．              D．
9、正 边长等于 ，点 在其外接圆上运动，则 的取值范围是（   ）
     A.             B.              C.           D. 
10、已知函数 满足 ，当 ， ，若在区间 内，函数 有三个不同零点，则实数 的取值范围是（    ）
  A．            B.             C．           D．

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案写在答题卷中相应的位置上）
11、已知 则 =      .
12、函数  不存在极值点，则 的取值范围是_________.
13、在△ABC中，角 所对的边分别为 ， ， ，则△ABC的面积为 .
14、已知函数 是 上的奇函数， 时， ，若对于任意 ，都有 ，则 的值为          .
15、已知 ，则 的最小值是          .
16、已知不等式 对于 ， 恒成立，则实数 的取值范围是____________.
17、已知 中， ， ，点 是线段 （含端点）上的一点，且 ，则 的取值范围是      .
三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答写在答题卷中相应的位置上）
18、（14分）已知函数 的定义域为 ，
（1）求 ；
（2）若 ，且 是 的真子集，求实数 的取值范围.

19、（14分）在 中，满足 的夹角为  ， 是 的中点，
（1）若 ，求向量 的夹角的余弦值；.
（2）若 ，点 在边 上且 ，如果 ，求 的值。

20、（14分）函数 （ 为常数）的图象过原点，且对任意  总有 成立；
（1）若 的最大值等于1，求 的解析式；
（2）试比较 与 的大小关系.
21、（15分）数列 前 项和 ，数列 满足 （ ），
   （1）求数列 的通项公式；
   （2）求证：当 时，数列 为等比数列；
   （3）在题（2）的条件下，设数列 的前 项和为 ，若数列 中只有 最小，
求 的取值范围.

22、（15分）设函数 ， ；
（1）求证：函数 在 上单调递增；
（2）设 ，  ，若直线  轴，求 两点间的最短距离.

参考答案
一、选择题（每题5分，共50分）
    1～5.DBBAD            6～10.CCDBB
二、填空题（每题4分，共28分）
11. ;        12. ;         13. ;         14.1; 
15.4;           16.  ;           17. .
三、解答题（前三题每题14分，最后两题每题15分，共72分）
18、（1）由 ，      ----------------------------------------------------------2分
解得 或 ，    ---------------4分
（2）法一：   中 --------------------------------------6分
○1 时， ，此时 ，符合题意；----------------------8分
○2 时， ，此时 ，由 是 的
真子集得  ， -----------------------------------10分
○3 时， ，此时 ，由 是 的
真子集得  ， -------------------------------12分
综上得 ------------------------------------------------------------------14分
    法二：因为 时总有 ，所以 时总有 ----8分
         所以 ， ；----------------------------------------------------------------12分  
此时，显然有 但 ，所以 是 的真子集，综上得 --14分
19、（1）设 ，则 ，-----------------3分
        而 ，-----------------------------3分
       所以向量 的夹角的余弦值等于 。-------8分
  （2）在 解得 ，-----10分
因为 ，所以 ，----------------------12分
故 。----------------------------------------------------14分
20、(1)由 ----------------------------------4分
解得 ，所以 。-------8分
（2）因为 、 ， 为最大值，所以 ， ---10分
而 、 ，所以 ，-------------12分
所以 ，即 。--------------------------14分
（没注意到 而进行分类讨论的扣2分！）

21、（1） ；-------------------------------------4分
   （2） ，
        所以 ，且 ，所以 是以 为首
项、 为公比的等比数列；----------------------------------8分
   （3） ；---------------------------10分
        因为数列 中只有 最小，所以 ，解得 ；-----13分
       此时，  ，于是， 为递增数列，
     所以 时 、 时 ，符合题意，综上 。--15分
22、（1） 时， ，所以函数 在 上
单调递增；-----------------------------------------------------6分
   （2）因为 ，所以 ---------------------8分
      所以 两点间的距离等于  ，------9分
      设 ，则 ，
      记 ，则 ，
所以 ，------------------------------------12分
所以 在 上单调递增，所以 ------------14分
所以 ，即 两点间的最短距离等于3.---------------15分