河北省衡水市衡水中学2013—2014学年高二上数学(理科)期中考试试

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河北省衡水市衡水中学2013—2014学年高二上数学(理科)期中考试试题及答案
一，选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）来源进步网www.szjjedu.com
1． 已知向量 ，下列向量中与 平行的向量是  （   ）
A．      B．      C．       D．
2．已知抛物线C：y2＝x与直线l：y＝kx＋1.“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同的交点”的(　　)
A．必要不充分条件       B．充分不必要条件
C．充要条件      D．既不充分也不必要条件来源进步网www.szjjedu.com
3. 已知方程 和 (其中 , )，它们所表示的曲线可能是（      ）
4. 2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是 （　　）来源进步网www.szjjedu.com
A．－ ＜x＜3 B．－ ＜x＜0    C．－3＜x＜    D．－1＜x＜10
5. 已知双曲线 ，两渐近线的夹角为 ，则双曲线的离心率为（  ）
A．          B．            C．          D． 或
6．已知 是空间的一个基底，下列四组向量中，能作为空间一个基底的是 （    ）
①                     ②  
③           ④
A．①②           B．②④          C．③④          D．①③
7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，且A1E＝23A1D，AF＝13AC，则(　　)
A．EF至多与A1D、AC之一垂直    B．EF是A1D，AC的公垂线
C．EF与BD1相交                 D．EF与BD1异面来源进步网www.szjjedu.com
8. 如图，空间四边形 中， ， ， ，点 在
线段 上，且 ，点 为 的中点，则 （   ）
A．  B．C．  D．
9.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是1，则直线DA1与平面ACB1间的距离为(     )
A.          B.         C.        D.  来源进步网www.szjjedu.com
10.椭圆 的左、右焦点分别为 ,弦AB过 ，若△ 的内切圆面积为 ，A、B两点的坐标分别为 和 ，则 的值为（   ）
A.         B.            C.          D.
11. 椭圆 的左右焦点分别为 ,点 在第一象限，且在椭圆C上，点 在第一象限且在椭圆C上，满足 ,则点 的坐标为（    ）
      A．    B.       C.     D.
12.已知F1,F2是椭圆 的左、右焦点，点P在椭圆上，且 记线段PF1与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于   (   )
A．     B．       C．      D．
第Ⅱ卷（非选择题90分）
二.填空题（每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答卷纸的相应位置）
13.已知 ，若 三向量共面，则 ________
14.正三棱锥 的高为2，侧棱与地面ABC成 ，则点A到侧面PBC的距离为      
15已知直线l与椭圆 交于 两点，线段 的中点为P，设直线l的斜率为 (k1≠0)，直线OP的斜率为 ，则 的值等于         
16.已知函数  恒过抛物线  的焦点 ,若A,B是抛物线上的两点，且 ,直线AB的斜率不存在，则弦 的长为       
三.解答题（共6小题， 共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）
17.（本题满分10分）如图，在四棱锥 ， , ,平面 平面 ,E是线段 上一点，
(1) 证明：平面  平面
(2)  若 ,求直线 与平面 所成角的余弦值。
18.（本题满分12分）如图所示，在四棱锥 中，四边形 为菱形，△ 为等边三角形，平面 平面 ，且∠ =60°, ， 为 的中点.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值；
（Ⅲ）在棱 上是否存在点 ，使 ∥平面 ？并说明理由．
19（

本题满分12分）已知椭圆 与直线 相交于 两点．
（1）若椭圆的半焦距 ，直线 与 围成的矩形 的面积为8，
求椭圆的方程；
（2）若 （ 为坐标原点），求证： ；
（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率 满足 ，求椭圆长轴长的取值范围．
20.（本题满分12分）在四棱锥P－ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝AD＝PD＝1，若 E为PC的中点，且BE与平面PDC所成的角的正弦值为 ，
(1)求CD的长
（2）求证 平面PBD
(3)设Q为侧棱PC上一点，PQ→＝λPC→，试确定λ的值，使得二面角Q－BD－P的大小为45°.

21. （本小题满分12分）
已知椭圆 经过点 ，且其右焦点与抛物线 的焦点F重合. （1）求椭圆 的方程；
（2）直线 经过点 与椭圆 相交于A、B两点，与抛物线 相交于C、D两点．求 的最大值．
22.（本题满分12分） 如图，已知椭圆 的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 为顶点的三角形的周长为 .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 和 与椭圆的交点分别为 和 .
（1）求椭圆和双曲线的标准方程；来源进步网www.szjjedu.com
（2）设直线 、 的斜率分别为 、 ，证明 ；
（3）是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
答案
一、选择题目：
  BABDA      DBBAB   AD来源进步网www.szjjedu.com
12.．D【解析】由题意知点P在圆 上，由 消y得 ,又因为△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1: 2，可得
,
  ,选D。
二，填空题
13.5    14.     15.    16.

17. 解：（Ⅰ） 平面 平面 ,平面 平面 ,
平面 ， ， 
平面 ,      …………2分
平面   
  ， ， =3, AE=ED= ，
所以 即 …………4分
结合 得BE⊥平面SEC，  平面 ，
平面SBE⊥平面SEC. …………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线ES,EB,EC两两垂直.
如图，以EB为x轴, 以EC为y轴,以ES为z轴,建立空间直角坐标系.
则 ，
.
设平面SBC的法向量为 ，
则
解得一个法向量 ，……7
设直线CE与平面SBC所成角为 ，
则 所以直线CE与平面SBC所成角的正弦值    --- 9分
则直线CE与平面SBC所成角的余弦值为 …………10
18. （Ⅰ）证明：连结EB，在△AEB中，AE=1，AB=2，∠ =60°，
  ＝1+4－2＝3.
∵ ，∴AD⊥EB．  …………………………………………2分
∵△ 为等边三角形， 为 的中点， AD⊥PE．
又EB∩PE=E，∴ 平面PEB，∴ ．………4分
（Ⅱ） 平面 平面 ，平面PAD∩平面ABCD＝AD，且PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥EB．
以点E为坐标原点，EA，EB，EP为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图．则A(1,0,0)，B(0, ,0)，P(0,0, )，D(-1,0,0)， ．
设平面PCD的一个法向量为 ，则
，即 ，∴
令z＝－1，则x＝ ，y＝1，故 ．
平面PAD的一个法向量为 ，
∴ ．又二面角 为钝角，
∴二面角 的余弦值为 ．                ------------------8分
（Ⅲ）假设棱PB上存在点F，使 ∥平面 ，设F(0,m,n)， ，则：
= ，∴ ，
∴ ．∵ ∥平面 ，
∴ ，即 ．∴ ， ．
故当点F 为PB的中点时， ∥平面 ．              -------------12分
19. 【解析】试题分析：解：（1）由已知得：     解得           3分
所以椭圆方程为：            --------------- 4分
（2）设 ，由 ，
得
由 ，得
                
由 ，得           -----------    8分
∴    
即 ，故            ----------- 8分
（3）由（2）得    由 ，得 ，
∴                      -------------   10分
由 得 ，∴
所以椭圆长轴长的取值范围为       --------------12
20. 解： (1)因为平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD.如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D－xyz.则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，，P(0,0,1)．
C ，面 的法向量为 
根据题意且BE与平面PDC所成的角的正弦值为 ，
则 ，            ----------------------4分
（2）又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，又PD∩BD＝D，
    
所以BC⊥平面PBD.         --------------------6
(3)由(2)可知，平面PBD的一个法向量为BC→＝(－1,1,0)，
PC→＝(0,2，－1)，因为PQ→＝λPC→，λ∈(0,1)，所以Q(0,2λ，1－λ)，
设平面QBD的一个法向量为n＝(a，b，c)，
因为DB→＝(1,1,0)，DQ→＝(0,2λ，1－λ)，由n•DB→＝0，n•DQ→＝0，得
a＋b＝02λb＋1－λc＝0，取b＝1，所以n＝(－1,1，2λλ－1)，           -----------8分
所以cos45°＝n•BC→|n||BC→|＝22 2＋2λλ－12＝22.
注意到λ∈(0,1)，得λ＝2－1.    ------------------------12
21. （1）由抛物线方程，得焦点 ，

   故椭圆的方程为  ．--------------------4
（Ⅱ）①当直线l垂直于 轴时，则 ，
                        …………………………………………5分
②当直线l与 轴不垂直，设其斜率为 ，则直线l的方程为
     由     得  
显然 ， 该方程有两个不等的实数根．设 ， .
,         ………………………………6分
所以，
          ……………8分
由     得  
显然 ， 该方程有两个不等的实数根．设 ， .
   ,           
由抛物线的定义，得  ……………10分

综上，当直线l垂直于 轴时， 取得最大值 . ……………………………12分
22. （Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为  ，得 ，又  ，所以可解得 ， ，所以 ，所以椭圆的标准方程为 ；所以椭圆的焦点坐标为（ ，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为 。          -----------------4