重庆荣昌县荣昌中学2013-2014学年高二上数学（理）期中考试试题

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重庆荣昌县荣昌中学2013-2014学年高二上数学（理）期中考试试题及答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）来源进步网www.szjjedu.com
1.若两个球的表面积之比为 ，则这两个球的体积之比为（　C　）
A．  B．  C．  D．
2.正方体 中， 、 分别是线段 、 的中点，则直线 与直线 的位置关系是（  A   ）
A．相交           B．异面         C．平行        D．垂直
3.设 是两个不同的平面， 是一条直线，以下命题正确的是（  D  ）
A．若 ，则                B．若 ，则 
C．若 ，则                D．若 ，则 
4.过点A(4,a)和B(5,b)的直线与直线y=x+m平行，则|AB|的值为(　B　)
A.6 B.    C.2 D.不能确定来源进步网www.szjjedu.com
5.与直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是(　D　)
A.x+2y-1=0                      B.2x+y-1=0
C.2x+y-3=0                     D.x+2y-3=0
6.已知变量x、y满足条件 则 的最大值是(  C  )
A.2                 B.5        C.6      D.8
7.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为（  B  ）

A．200+18π B．200+9π C．140+18π D．140+9π                                
8.点 满足： ，则点 到直线 的最短距离是  (  B  ) 来源进步网www.szjjedu.com
A. 1               B.          C.         D.
9.已知底面为正方形的长方体 中， ，则 与平面 所成角的正弦值等于（　A　）
A．  B．  C．  D．
10.如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线 之间，  // ， 与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点。设弧 的长为 ， ，若 从 平行移动到 ，则函数 的图像大致是（  D  ）


二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将答案填在答题卷上相应位置）来源进步网www.szjjedu.com
11.经过点 且与直线 垂直的直线方程为 .
12.在圆 内，过点E（0，1）的最短弦AB，则AB＝
13.侧棱长为2的正三棱锥（底面为正三角形、顶点在底面上的射影为底面的中
心的三棱锥）其底面周长为9，则棱锥的高为     1      。

14.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该
组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的
四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______

15.已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，且其6个顶点都在球 的球面上，若 ， ， ，则球 的半径为
三、解答题（本大题共6个小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）
16.（本小题满分13分）来源进步网www.szjjedu.com
在△ABC中，已知A(5,-2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：来源进步网www.szjjedu.com
(1)顶点C的坐标； (2)直线MN的方程；
解： (1)设C(x0，y0)，则AC中点M ，BC中点N ，
∵M在y轴上，∴ =0，x0=-5。∵N在x轴上，∴ =0，y0=-3。.即C(-5,-3)。
(2)∵M ，N(1,0)，∴直线MN的方程为 =1，即5x-2y-5=0。
17. (本小题满分13分)
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点。
(1)证明：EF//平面PAD；
(2)求三棱锥E—ABC的体积V。
解：(1)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，
∴EF//BC。又BC//AD，∴EF//AD。来源进步网www.szjjedu.com
又∵AD 平面PAD，EF 平面PAD，
∴EF//平面PAD.
(2)连接AE，AC，EC，过E作EG//PA交AB于点G，
则EG⊥平面ABCD，且EG= PA. 来源进步网www.szjjedu.com
在△PAB中，AP=AB， PAB=90°，BP=2，
∴AP=AB= ，EG= .
∴S△ABC= AB•BC= × ×2= ，∴VE-ABC= S△ABC•EG= × × = .
18.（本小题满分13分）
已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4 。来源进步网www.szjjedu.com
(1)求直线CD的方程； (2)求圆P的方程。
解： (1)直线AB的斜率k=1，AB的中点坐标为(1,2)，
∴直线CD的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0。
(2)设圆心P(a,b)，则由P在CD上得a+b-3=0①
又∵直径|CD|=4 ，∴|PA|=2 。∴(a+1)2+b2=40 ②
由①②解得 或  即圆心P(-3,6)或P(5,-2)。
故圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40。
19.（本小题满分12分）来源进步网www.szjjedu.com
如图所示，在长方体 中，AB=AD=1，
AA1=2，M是棱CC1的中点。
（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；
（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M
20. （本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy上，已知圆 的圆心为Q，过点P(0，2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B。
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在常数k，使得向量 与 共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由。
解：(1)圆的方程可写成(x-6)2+y2=4，所以圆心为Q(6,0).
过P(0，2)且斜率为k的直线方程为y=kx+2，
代入圆的方程得x2+(kx+2)2-12x+32=0，整理得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0.①
直线与圆交于两个不同的点A、B等价于Δ=[4(k-3)]2-4×36(1+k2)=42(-8k2-6k)>0，
解得 ，即k的取值范围为 .
(2)不存在常数k，使得向量 与 共线.
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则 。由(1)中的方程①，
得 ②
又y1+y2=k(x1+x2)+4 ③    而P(0，2)，Q(6，0)， .
所以 与 共线等价于-2(x1+x2)=6(y1+y2), 
将②③代入上式,解得 .
由(1)知 ，故没有符合题意的常数k.
21. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥 中， 丄平面 ， 丄 ，
丄 ， ， ， .
(1)证明 丄 ；
(2)求二面角 的正弦值；
(3)设E为棱 上的点，满足异面直线BE与CD所成的角
为 ，求AE的长。

解：方法一:（1）以 为 正半轴方向，建立空间直角坐标系
则

（2） ，设平面 的法向量
则  取
是平面 的法向量

得：二面角 的正弦值为
（3）设 ；则
  即

方法二:(1)证明：由 平面 ，可得 。又由
，故 平面 ，
又 平面 ，所以 。
(2)解:如图，作 于点 ，连接 ，由
，可得 平面 ，因此 ，
从而 为二面角 的平面角。
在 中， ，由此得 ，由(1)知 ，
故在 中， ，
因此 ，所以二面角 的正弦值为 .