云南玉溪市玉溪一中2013-2014学年高二上数学（理科）期中考试试

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云南玉溪市玉溪一中2013-2014学年高二上数学（理科）期中考试试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.函数 的定义域是（    ）来源进步网www.szjjedu.com
  A.    B.    C.    D. 
2.已知 ， ， ，则 的大小关系是（   ）
A．     B.       C．     D．
3.已知 为第二象限角, ,则 （　 　）
A．  B．  C．  D．
【答案】D
【解析】来源进步网www.szjjedu.com
试题分析：因为 公式较多，本题关键是选用哪个公式，这里我们选用
，从而要求我们首先求出 ，而 与 的联系是   ，由已知可求得 ，由于 为第二象限角,故 ，从而 ，所以 ， ．选D．
考点：余弦的二倍角公式及三角函数的符号．
4.设 分别为两个不同的平面，直线 ，则“ ”是
“ ”成立的（     ）
A．充分不必要条件       B．必要不充分条件  
C．充分必要条件         D．既不充分也不必要条件来源进步网www.szjjedu.com

5.执行如下图所示的程序框图,输出的结果是(    ) 来源进步网www.szjjedu.com
A．11 B．12      C．13 D．14
6.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示,  分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数,  分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差,则有（  　　）
A． ,       B． ,
C． ,       D． , 来源进步网www.szjjedu.com
【答案】B

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7.如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是来源进步网www.szjjedu.com
直角三角形，其直角边长均为1，则该几何体的表面积为 (   )
A．         B．      C．       D．
 
8.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（  ）
A．26,  16,  8,       B．25，17，8       C．25，16，9         D．24，17，9

9.已知 ，若向区域 内随机投一点 ，则点 落在区域 内的概率为(　　　) 来源进步网www.szjjedu.com
A.13       B.23      C.19      D.29
【答案】D
【解析】来源进步网www.szjjedu.com
试题分析：本题我们只要作出区域 (如图 内部(含边界)，以及区域A( 内部含边界)，利用解方程组得到各坐标： ， ， ， ，计算出 的面积为18， 的面积为4，根据几何概型性质，得点 落在区域 内的概率为 ．

考点：几何概型．

10.设 若 的最小值为（    ）
A.  8        B.  4        C. 1       D. 

11.在 中, 是边 中点,角 的对边分别是 ,若 ,则 的形状为（　  ）来源进步网www.szjjedu.com
A．等边三角形     B．钝角三角形   C．直角三角形   D．等腰三角形但不是等边三角形.
【答案】A
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12.已知函数 的定义域为 , 且 奇函数.当 时,  = - -1,那么函数 ,当 时,  的递减区间是 (     )                         
   A.   B.   C.     D.

第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量 , .若 ,则实数   __________.

14.某地区对某段公路上行驶的汽车速度监控,从中抽取200辆汽车进行测速分析,得到如图所示的频率分布直方图,根据该图,可估计这组数据的平均数和中位数依次为           .


15.命题 关于 的不等式 对一切 恒成立；命题 函数 是减函数，若 为真命题， 为假命题，则实数 的取值范围为         .
【答案】

16.已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是边长为 的正三角形， 为球 的直径，且 ，则此棱锥的体积为       .


三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.(本小题满分10分)已知等差数列 的前 项和为 , .
(1)求数列 的通项公式;
(2) 设 ,求数列 的前 项和 .
  18.(本小题满分12分)相关部门对跳水运动员进行达标定级考核，动作自选，并规定完成动作成绩在八分及以上的定为达标，成绩在九分及以上的定为一级运动员. 已知参加此次考核的共有56名运动员.
（1）考核结束后，从参加考核的运动员中随机抽取了8人，发现这8人中有2人没有达标，有3人为一级运动员，据此请估计此次考核的达标率及被定为一级运动员的人数；
（2）经过考核，决定从其中的A、B、C、D、E五名一级运动员中任选2名参加跳水比赛（这五位运动员每位被选中的可能性相同）. 写出所有可能情况，并求运动员E被选中的概率. 
（Ⅱ）依题意，从这五人中选2人的基本事件有：（A、B）（A、C）（A、D）（A、E）
    （B、C）（B、D）（B、E）（C、D）（C、E）（D、E），共10个
    其中“E被选中”包含：（A、E）（B、E）（C、E）（D、E）4个基本事件，
    因此所求概率 来源进步网www.szjjedu.com
考点：(1)随机抽样；（2）古典概型概率问题.
19.(本小题满分12分)已知函数
（1）求 的单调递增区间；来源进步网www.szjjedu.com
（2）在 中，内角A,B,C的对边分别为 ，已知 ， 成等差数列，且 ，求边 的值.

试题解析：解：（1）

令
的单调递增区间为

20.(本小题满分12分)
在三棱锥 中,  是边长为2的正三角形,平面 平面 , , 分别为 的中点.
(1)证明: ;
(2)求锐二面角 的余弦值;


【答案】（1）见试题解析；（2） ．
 
21.．(本小题满分12分)在平面直角坐标系 中，已知圆 和圆 .来源进步网www.szjjedu.com
（1）若直线 过点 ，且被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程；
(2）设 为平面上的点，满足：存在过点 的无穷多对互相垂直的直线 和 ，它们分别与圆 和圆 相交，且直线 被圆 截得的弦长与直线 被圆 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 的坐标.
  ，关于 的方程由无穷多解，则有
，故 .
考点：(1)点到直线距离公式；（2）方程解的个数问题．来源进步网www.szjjedu.com

22.(本小题满分12分) 来源进步网www.szjjedu.com
对于函数 若存在 ,使得 成立,则称 为 的不动点.
已知
(1)当 时,求函数 的不动点; 来源进步网www.szjjedu.com
(2)若对任意实数 ,函数 恒有两个相异的不动点,求 的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若 图象上 、 两点的横坐标是函数 的不动点,且 、 两点关于直线 对称,求 的最小值. 
 
(2)即 有两个不等实根,转化为