湖南永州市宁远县第二中学2013—2014学年高二上数学(理)第二次月

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湖南永州市宁远县第二中学2013—2014学年高二上数学(理)第二次月考试题及答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 来源苏州进步网www.szjjedu.com
1． 已知 ， ，则“ ”是“ ”的（    ）
A．充分不必要条件      B．必要不充分条件
C．充要条件        D．既不充分也不必要条件
2． 斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13， ，34，……中的x的值是（    ）
A．19    B．21    C．26    D．31
3． 焦点在直线 上的抛物线的标准方程是（    ）
A．         B．C．         D．  
4． 下列命题正确的是（    ）来源苏州进步网www.szjjedu.com
A．若 ，则B．若 ， ，则C．若 ， ，则D．若 ，则 ( )
5． 已知方程 表示双曲线，则 的取值范围是（    ）
A．         B．C． 或       D．
6． 如图，平行六面体 — 中， 与 的交点为 ．设 =a， = b， =c，则下列向量中与 相等的向量是（    ）来源苏州进步网www.szjjedu.com
A． a b + c  B． a + b + c   C． a b + c  D．  a + b + c
7． 在△ 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果 ，则△ 的形状为（    ）
A．等腰三角形       B．直角三角形C．等腰或直角三角形      D．等腰直角三角形
8.  直线 过双曲线 的右焦点，斜率k=2。 若 与双曲线的两个交点分别在左                 右两支上，则双曲线的离心率e的范围（    ）
    A.e>        B.1<e<      C.1<e<       D.e>                                                   
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分35分）
9、不等式 的解集为                   .
10、命题“ ”的否定为                 . 来源苏州进步网www.szjjedu.com
11、动点P到点F(1,0)的距离与它到直线x= -1的距离相等，则点的P轨迹方程为           .
12、若双曲线 的渐近线方程为 ，则b等于             .
13．已知数列 满足： ， （n≥2，n∈N），则其前6项的和 =         .
14．若 , ，则实数 的最大整数值是             .
15．若x，y满足约束条件   ， 为上述不等式组表示的平面区域，则
(1) 目标函数 的最小值为            ；
(2) 当 从 连续变化到         时，动直线 扫过 中的那部分区域的面积为7．
三、解答题（本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
16．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， ，B＝45°．求：（1）角A的大小；    （2）边c的长度．来源苏州进步网www.szjjedu.com

17．（本小题满分12分）双曲线的两条渐近线的方程为 ，且经过点 .
（1）求双曲线的方程；
（2）过右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A、B两点，求|AB|．

18．（本小题满分12分）运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米(50≤x≤100)
(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x2360)升，
司机的工资是每小时14元．
     (1)求这次行车总费用y关于x的表达式；来源苏州进步网www.szjjedu.com
     (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．

19．（本小题满分13分）已知数列 满足： ，
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）设 ，求数列 的前 项的和 ．
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20．（本小题满分13分）如图，在四棱锥 中，PA⊥底面ABCD， ∥ ，∠ =90°，  ， 是 的中点.
（1）求证： ⊥ ；
（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值；
（3）试探究线段 上是否存在一点 ，使得 ∥面 ?若存在，确定点 的位置；若不存在，请说明理由．

21、（13分）如题（21）图，倾斜角为a的直线经过抛物线 的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。
（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；来源苏州进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。

一、选择题（每小题5分，共40分）
1．A 2．B 3．D 4．B 5．D 6．B 7．C 8．D
二、填空题（每小题5分，共35分）
9、{x 0<x<1}      10、x0∈N,x03<x0      11、y2=4x       12、1 来源苏州进步网www.szjjedu.com
13、     14、2    15．－4，2（第一空2分，第二空3分）
三、解答题
16．(1)由正弦定理 得：  ，     ………………………… 3分
又∵A为三角形的内角，∴A=30°或150°（舍去∵  ………………………6分
(2)由(1)得C=180－（A+B）=105°，     …………………………………………… 8分
由正弦定理 ,得 .    ………………………………………… 12分
（或由余弦定理得 = ， ）来源苏州进步网www.szjjedu.com
17．解：（1）∵双曲线的两条渐近线方程的方程为 ，
∴可设双曲线的方程为    ………………………………………2分
又∵双曲线经过点 ，代入方程可得 ，   ……………………………4分
∴所求双曲线的方程为 . （分情况讨论可酌情得分）   …………… 6分
（2）设 、 ,
过F且倾斜角为60°的直线方程为 ,   …………………………… 8分
联立  ,来源苏州进步网www.szjjedu.com
得  ，由韦达定理得 ， ,      …………… 10分
则弦长 = .（由弦长公式或由交点坐标均可得分）    ………………12分
18．解：(1)行车所用时间为t＝130x(h)，y＝130x×2×(2＋x2360)＋14×130x，x∈[50,100]．
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝2340x＋1318x，x∈[50,100]．……………6分
(2)y＝2340x＋1318x≥2610，当且仅当2340x＝1318x，即x＝1810时，上述不等式中等号成立．当x＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．……………………12分
19．解：（1）∵       ∴
即 ，     ………………………………………………3分
又∵ ，∴ ，∴      …………………………………4分
∴     …………………………………………………………5分
∴数列{an＋2}是以3为首项，3为公比的等比数列     ………………………6分
（2）由（1）得  an＋2＝3×3n-1＝3n
∴an＝3n－2
bn＝n•an＝n•3n－2n  …………………………………………………………8分
∴Tn＝(1×31－2×1)＋(2×32－2×2)＋…＋(n•3n－2n)
＝1×31＋2×32＋…＋n•3n－2(1＋2＋…＋n)
＝1×31＋2×32＋…＋n•3n－2×
＝1×31＋2×32＋…＋n•3n－n2－n  ……………………………………10分
记Sn＝1×31＋2×32＋…＋n•3n
则3Sn＝1×32＋…＋(n－1)•3n＋n•3n＋1
∴Sn－3Sn＝(31＋32＋…＋3n)－n•3n＋1
＝ －n•3n＋1
＝ 来源苏州进步网www.szjjedu.com
∴Sn＝    ……………………………………………………  12分
∴Tn＝ －n2－n. ………………………………………………13分
20．解：（1）不妨令BC＝1，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）
所以M（1， ，1）， ， .来源苏州进步网www.szjjedu.com
因为 ,  所以 .  ……………………………4分
（2）设平面PCD的法向量为 ＝(x，y，z),
由          .   ……………6分
而平面PAB的法向量为 ,
∴cos＜ , ＞= .
∴所求二面角的余弦值为 . …………………………………………………………8分
（3）假设线段PB上存在一点Q，有 ,
.  ……………………………………………………10分
若AQ平行平面PCD，则 ,
即 .来源苏州进步网www.szjjedu.com
所以 ，这与 矛盾.
故不存在这样的点Q，使得AQ∥平面PCD.   ……………………………………13分
21（Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为 ，则 ，从而 ,因此焦点 的坐标为（2，0）,  .又准线方程的一般式为 。从而所求准线l的方程为 。
                                                          ……………………4分
（Ⅱ）解法一：如图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知
|FA|=|FC|,|FB|=|BD| ，记A、B的横坐标分别为xx  xz，则来源苏州进步网www.szjjedu.com
|FA|＝|AC|＝ 解得 ，………6分
                                                                         
类似地有 ，解得 。……………………8分
记直线m与AB的交点为E，则
  所以 。……………………11分来源苏州进步网www.szjjedu.com
故 。……………………13分
解法二：设 ， ，直线AB的斜率为 ，
则直线方程为    。
将此式代入 ,得 ，故 。……6分
记直线m与AB的交点为 ，则来源苏州进步网www.szjjedu.com
， ，……………………8分
故直线m的方程为 .……………………10分
令y=0,得P的横坐标      故 。
从而 为定值。……………13分