北京燕山地区2013—2014学年初四上数学期末考试试卷及答案

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北京燕山地区2013—2014学年初四上数学期末考试试卷及答案
一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．若 ，则 的值为来源进步网www.szjjedu.com
A.          B.          C.          D. 
2. 二次函数 的最小值是
A．1　 　      B．－1    　   C．3　      D．－3来源进步网www.szjjedu.com
3. 已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为7，那么点P与⊙O的位置关系是来源进步网www.szjjedu.com
A．点P在⊙O上              B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O外              D．无法确定
4. 在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sin B的值是来源进步网www.szjjedu.com
A.          B．        C．         D．
（第4题图）              （第5题图）               （第7题图）
5．如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP : AP=1 : 5.则CD的长为来源进步网www.szjjedu.com
A．         B．       C．        D． 来源进步网www.szjjedu.com
6. 已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则此圆锥的侧面积为
A．15πcm2      B．20πcm2      C．25πcm2     D．30πcm2
7.如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，P是斜边上一定点，过点P作直线与一直角边交于点Q，使图中出现两个相似三角形，这样的点Q有来源进步网www.szjjedu.com
A．1个         B．2个       C．3个         D．4个
8.如右图，⊙O上有两点A与P，且OA⊥OP，若A点固定不动， P点在圆上匀速运动一周，那么弦AP的长度 与时间 的函数关系的图象可能是来源进步网www.szjjedu.com
①                             ②   ③                             ④
A. ①          B. ③          C. ①或③       D. ②或④
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．如果两个相似三角形的相似比是2:3，那么它们的周长比是        ．来源进步网www.szjjedu.com
10. 已知抛物线 经过两点 和 ，则 与 的大小关系是        ．来源进步网www.szjjedu.com
11．一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB= m，已知木箱高BE= m，斜面坡角为30°，则木箱端点E距地面AC的高度EF为        m. 来源进步网www.szjjedu.com

（第11题图）
12．我们把图（1）称作正六边形的基本图，将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图（2），图（3），…，来源进步网www.szjjedu.com
如此进行下去，直至得图（n）．来源进步网www.szjjedu.com

图（1）          图（2）                图（3）
（1）将图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为（x1 ，4），则x1 =             ；来源进步网www.szjjedu.com
（2）图（n）的对称中心的横坐标为            ．来源进步网www.szjjedu.com

三、解答题（本题共30分，每小题5分）来源进步网www.szjjedu.com
13．计算：2sin30°＋ cos45°－ tan60°．来源进步网www.szjjedu.com
14．已知抛物线 经过（2，－1）和（4 , 3）两点．
(1)求出这个抛物线的解析式；来源进步网www.szjjedu.com
(2)将该抛物线向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的
新抛物线解析式为                   . 来源进步网www.szjjedu.com
15. 如图，在△ABC中，∠C = 90°，cosA = ，AC = 9.
    求AB的长和tanB的值．来源进步网www.szjjedu.com
16. 如图：四边形ABCD和四边形AEFC都是矩形，点B在EF边上.
(1) 请你找出图中一对相似三角形（相似比不等于1），并加以证明；来源进步网www.szjjedu.com
（2）若四边形ABCD的面积为20，求四边形AEFC的面积．来源进步网www.szjjedu.com

（第15题图）                          （第16题图）
17.如图，已知 ， ， 是平面直角坐标系中三点．
（1）请你画出 ABC关于原点O对称的 A1B1C1 ；来源进步网www.szjjedu.com
  （2）请写出点A关于y轴对称的点A2的坐标．若将点A2向上平移h个
单位，使其落在 A1B1C1内部，指出h的取值范围．来源进步网www.szjjedu.com
18.如图，⊙O是Rt ABC的外接圆，∠ABC = 90°， AC = 13，BC =5，弦BD = BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．来源进步网www.szjjedu.com
（1）求证：∠BCA =∠BAD ；
（2）求DE的长．来源进步网www.szjjedu.com

（第17题图）                      （第18题图）
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19. 已知二次函数 为常数，且 .
   （1）求证：不论 为何值，该函数的图象与 轴总有两个公共点；
   （2）设该函数的图象的顶点为C，与 轴交于A，B两点，当△ABC
的面积等于2时，求 的值. 来源进步网www.szjjedu.com
20. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O 上，点P是直径AB上的一点，（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q. 来源进步网www.szjjedu.com
   （1）点D在线段PQ上，且DQ=DC.
求证：CD是⊙O的切线；
   （2）若sinQ= ，BP =6，AP = ，求QC的长. 来源进步网www.szjjedu.com

（第20题图）
21.在2014年“元旦”前夕，某商场试销一种成本为30元的文化衫，经试销发现，若每件按34元的价格销售，每天能卖出36件；若每件按39元的价格销售，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）是销售价格x (元)的一次函数．来源进步网www.szjjedu.com
  （1）直接写出y与x之间的函数关系式y =                       ．
  （2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，每件的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？来源进步网www.szjjedu.com
22. 已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．
   （1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．来源进步网www.szjjedu.com
    则          （填“<”或“=”或“>”）；
（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：
当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得 =
成立？并证明你的结论；来源进步网www.szjjedu.com
   （3）如图3，若BA=BC= 3，DA=DC= 4，∠BAD= 90°，
DE⊥CF．则 的值为         ．

图1                      图2                      图3
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23. 已知抛物线 与 轴相交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴相交于点 ．
   （1）点 的坐标为         ，点 的坐标为         ；来源进步网www.szjjedu.com
   （2）在 轴的正半轴上是否存在点 ，使以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似？若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．来源进步网www.szjjedu.com

24. （1）在Rt 中，∠C = 90°, ∠B = 30°．
① 绕点C顺时针旋转得到 ，点 恰好落在 边上．如图1，则 与 的数量关系是           ；来源进步网www.szjjedu.com
    ②当 绕点C旋转到图2的位置时，小娜猜想①中 与 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了 和 中BC，C 边上的高，请你证明小娜的猜想；
   （2）已知，∠ABC = 60°,点 是∠ABC平分线上一点， ， 交 于点 ，如图3．若在射线 上存在点 ，使 ，则            ．
图1                        图2                        图3
25. 定义：把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形，我们把这个封闭图形称为“蛋圆”．如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0,8），AB为半圆的直径，半圆的圆心M的坐标为（1,0），半圆半径为3．来源进步网www.szjjedu.com
（1）请你直接写出“蛋圆”抛物线部分的解析式            ，来源进步网www.szjjedu.com
自变量的取值范围是           ；来源进步网www.szjjedu.com
（2）请你求出过点C的“蛋圆”切线与x轴的
  交点坐标；来源进步网www.szjjedu.com
（3）求经过点D的“蛋圆”切线的解析式．
答案及评分参考
一、选择题（本题共32分，每小题4分） 
题 号 1 2来源进步网www.szjjedu.com
3 4 5 6 7 8
答 案 B D   C A B A C C
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
题 号 9 10来源进步网www.szjjedu.com
11 12
答 案 

；

注：第12题（1）2分（2）2分.
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解：2sin30°＋ cos45°－ tan60°．来源进步网www.szjjedu.com
．         ……3分
     ………4分
       ………5分
14．解：(1) ∵抛物线 过（2，－1）和（4 , 3）两点，
∴      ………1分
∴       …………2分来源进步网www.szjjedu.com
∴这个抛物线的解析式为 .  ……………3分
（2）新抛物线的解析式为  或 ．  …5分
15. 解：在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 9, cosA = = ，……1分
∴AB = 15，  ……………2分
，………3分
∴ tanB= = = ．……………5分
16.（1） △AEB    ∽   △CBA   . ……………1分
（或△AEB∽△BFC；△AEB∽△ADC；△CAB∽△BFC；△BFC∽△ADC . ） 
证明：∵四边形ABCD和四边形AEFC是矩形，
∴∠E =∠CBA=∠EAC=90°. …………2分
∵∠EAB+∠CAB=90°，来源进步网www.szjjedu.com
            ∠EAB+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠CAB. 来源进步网www.szjjedu.com
∴△AEB ∽ △CBA.  ………3分
（2）解：∵△AEB ∽ △CBA，来源进步网www.szjjedu.com
         ∴  .  …………4分
∴ .
∵
∴ .   …………5分
17.（1）
……………3分来源进步网www.szjjedu.com
（2）点A2的坐标（2，-3）；……………………4分
h的取值范围是4.5 <h<6  .  ……………………5分来源进步网www.szjjedu.com
18.（1）证明（一）：在⊙ 中，∵弦 BD = BA，∴弧BD等于弧AB,
∴∠BCA =∠BAD.  …………………2分
证明（二）：∵∠BCA =∠BDA，…………………1分
           ∵ BD = BA，
           ∴∠BAD =∠BDA，
∴∠BCA =∠BAD.  …………………2分来源进步网www.szjjedu.com
（2）在Rt ABC中，∠ABC = 90°， AC = 13，BC =5，
∴ ，…………3分
∵ BE⊥DC，∴∠E= 90°，
  ∵∠EDB =∠BAC.  …………4分
∴△DEB∽△ABC，来源进步网www.szjjedu.com
  ∴ ，来源进步网www.szjjedu.com
∴ .        …………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19.（1）证明： .    
   ∵
，…………………1分
              ∴方程 有两个不相等的实数根.
              ∴不论 为何值，该函数的图象与 轴总有两个公共点.  ………2分
（2）∵ ， 
     ∴顶点 的坐标为 .…………………3分
当 时， ，来源进步网www.szjjedu.com
解得 ，所以 . 
当△ABC的面积等于 时， ，
∴ 来源进步网www.szjjedu.com
∴ 或 .    …………………5分
20.（1）证明：连接 ，                              
∵ ，
∴ .   …………………1分
∵ ，

∴ .
∵ ，∴ .
∴ .
∴ . 
∴ ， ……………2分
∴
∵ 是⊙ 的半径，来源进步网www.szjjedu.com
∴ 是⊙ 的切线.    ……………3分
（2）连接 ，
在 中， ，  ……………4分
∴ ，
∵ 是⊙ 的直径，
∴ .
在 中，
∴ .
∴ .    ……………5分
21.解：（1） ；    ……………2分来源进步网www.szjjedu.com
（2）每天获得的利润 ……………3分
                              
                      ……………4分
答：每件的销售价格定为38元时，每天获得的利润最大.…5分

22. 解：（1） = ；…………………1分
（2）当 时， = 成立.  ……………2分
     证明如下：如图，在 的延长线上取点 ，
使 ，连接 ， 则 .
∵ ， ∴ .
     ∵ ， ∴ .
∵ ，
∴ .来源进步网www.szjjedu.com
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ∽ ，∴ ，即 ，
∴ = .…………………3分
（3） 的值为 ． …………………5分
    （提示：连接 证 ∽ 即可）来源进步网www.szjjedu.com
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23.解：（1）点 的坐标为 ，点 的坐标为 …………………2分来源进步网www.szjjedu.com
（2）在 轴的正半轴上存在符合条件的点 ，设点 的坐标为 
     ∵  ，  ，来源进步网www.szjjedu.com
∴ ， ， ．
∵ ∽ ，∴ ，…………………4分
∴ ，∴ ．…………………5分
∵ ∽ ，∴ ，…………………6分来源进步网www.szjjedu.com
∴ ，∴ ． …………………7分
∴符合条件的点 有两个， 或 ．

24. （1）①解： = ； …………………2分  
②证明：∵ ，来源进步网www.szjjedu.com
            ∴ ．
∵ ，
∴ ．…………………3分  
∵ ，来源进步网www.szjjedu.com
∵ ≌ ．  …………………4分
∴ ．  ∵ ，
∴ = ．…………………5分    
（2）解：  或 ．   …………………7分
        （提示：如图所示，作 交 于点 ；
作 交 于点 ．
即为所求．）

25.解：（1）“蛋圆”抛物线部分的解析式为 ，…………………2分  
自变量的取值范围是 ；…………………3分 
     （2）如图，连接 ，设过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点为 ．
          ∴ ．…………………4分  
∵ ，
在 中，∵ ， ，
∴ ，…………5分  
∵ ∽ ，来源进步网www.szjjedu.com
∴ ，∴ ．
∴点 的坐标为（-8.，0）．  ……………6分                  
（3）设过点 ，“蛋圆”切线的解析式为 ．来源进步网www.szjjedu.com
          由题意得，方程组 只有一组解，…7分来源进步网www.szjjedu.com
即 有两个相等实根， ∴ 来源进步网www.szjjedu.com
           ∴过点 “蛋圆”切线的解析式为 ．…………8分来源进步网www.szjjedu.com
(注：本卷中许多试题解法不唯一,请老师们根据评分标准酌情给分)