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免费下载:北京市西城区2013—2014学年高三上数学(文科)期末考试试卷及答案
北京市西城区2013—2014学年高三上数学(文科)期末考试试卷及答案
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.来源进步网www.szjjedu.com
1.设集合 , ,则集合 ( )
(A) (B) (C) (D)
2.已知命题 :“ , ”,那么 是( )来源进步网www.szjjedu.com
(A) , , (B) , (C) , (D) ,
3.在平面直角坐标系 中,点 , ,若向量 ,则实数 ( )
(A) (B) (C) (D) 来源进步网www.szjjedu.com
4.若坐标原点在圆 的内部,则实数m的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
5.执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )
(A) (B)(C) (D) 来源进步网www.szjjedu.com
6. 若曲线 为焦点在 轴上的椭圆,则实数 , 满足( )
(A) (B)(C) (D)
7.定义域为R的函数 满足 ,且当 时, ,则当 时, 的最小值为( )来源进步网www.szjjedu.com
(A) (B) (C) (D)
8.在平面直角坐标系 中,记不等式组 所表示的平面区域为 . 在映射 的作用下,区域 内的点 对应的象为点 ,则由点 所形成的平面区域的面积为( )来源进步网www.szjjedu.com
(A) (B)4 (C)8 (D)16
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.已知复数z满足 ,那么 ____________.
10.在等差数列 中, , ,则公差 ___________;前17项的和 ________.来源进步网www.szjjedu.com
11.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等,其侧(左)视图如图所示,那么此三棱柱正(主)视图的面积为______.
12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 若 , , ,则 ______; ______.
13.设函数 则 ______;若函数 存在两个零点,则实数 的取值范围是______.来源进步网www.szjjedu.com
14.设 为平面直角坐标系 内的点集,若对于任意 ,存在 ,使得 ,则称点集 满足性质 . 给出下列三个点集:
○1 ;
○2 ;来源进步网www.szjjedu.com
○3 .来源进步网www.szjjedu.com
其中所有满足性质 的点集的序号是______.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)来源进步网www.szjjedu.com
已知函数 , ,且 的最小正周期为 .
(Ⅰ)若 , ,求 的值;
(Ⅱ)求函数 的单调增区间.
16.(本小题满分13分)
以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩.乙组记录中有一个数字模糊,无法确认,假设这个数字具有随机性,并在图中以 表示.来源进步网www.szjjedu.com
(Ⅰ)若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同,求a的值;来源进步网www.szjjedu.com
(Ⅱ)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率;
(Ⅲ)当 时,分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率.
17.(本小题满分14分)
如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的正方形,四边形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,BF=3,G和H分别是CE和CF的中点.
(Ⅰ)求证:AC⊥平面BDEF;
(Ⅱ)求证:平面BDGH//平面AEF;来源进步网www.szjjedu.com
(Ⅲ)求多面体ABCDEF的体积.
18.(本小题满分13分)
已知函数 ,其中 是自然对数的底数, .
(Ⅰ)求函数 的单调区间;来源进步网www.szjjedu.com
(Ⅱ)当 时,求函数 的最小值.
19.(本小题满分14分)
已知 是抛物线 上的两个点,点 的坐标为 ,直线 的斜率为 .设抛物线 的焦点在直线 的下方.
(Ⅰ)求k的取值范围;来源进步网www.szjjedu.com
(Ⅱ)设C为W上一点,且 ,过 两点分别作W的切线,记两切线的交点为 . 判断四边形 是否为梯形,并说明理由.
20.(本小题满分13分)
设无穷等比数列 的公比为q,且 , 表示不超过实数 的最大整数(如 ),记 ,数列 的前 项和为 ,数列 的前 项和为 .
(Ⅰ)若 ,求 ;来源进步网www.szjjedu.com
(Ⅱ)证明: ( )的充分必要条件为 ;
(Ⅲ)若对于任意不超过 的正整数n,都有 ,证明: .
参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.D 2.D 3.A 4.C 5.B 6.C 7.A 8.C
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 10. 11. 12.
13. 14.○1○3来源进步网www.szjjedu.com
注:第10、12、13题第一问2分,第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分,少选得2分.
三、解答题:本大题共6小题,共80分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分.
15.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:因为 的最小正周期为 ,
所以 ,解得 . ……………… 3分来源进步网www.szjjedu.com
由 ,得 ,
即 , ……………… 4分
所以 , .
因为 ,
所以 . ……………… 6分
(Ⅱ)解:函数 来源进步网www.szjjedu.com
……………… 8分
, ………………10分
由 , ………………11分来源进步网www.szjjedu.com
解得 . ………………12分
所以函数 的单调增区间为 .…………13分
16.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:依题意,得 , ……3分
解得 . … 4分
(Ⅱ)解:设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件 , ……… 5分
依题意 ,共有10种可能. …… 6分来源进步网www.szjjedu.com
由(Ⅰ)可知,当 时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同,
所以当 时,乙组平均成绩超过甲组平均成绩,共有8种可能.… 7分
所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率 . ……… 8分
(Ⅲ)解:设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分”为事件 ,…… 9分
当 时,分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,所有可能的成绩结果有 种, 它们是: , , , , , , , , , ………10分
所以事件 的结果有7种,它们是: , , , , , , . ……… 11分
因此这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率 .
……13分
17.(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:因为四边形 是正方形,来源进步网www.szjjedu.com
所以 . ……… 1分
又因为平面 平面 ,平面 平面 ,
且 平面 ,
所以 平面 . ……… 4分
(Ⅱ)证明:在 中,因为 分别是 的中点,
所以 ,
又因为 平面 , 平面 ,来源进步网www.szjjedu.com
所以 平面 . ……………… 6分
设 ,连接 ,
在 中,因为 , ,
所以 ,来源进步网www.szjjedu.com
又因为 平面 , 平面 ,
所以 平面 . … 8分
又因为 , 平面 ,
所以平面 平面 . ……10分
(Ⅲ)解:由(Ⅰ),得 平面 ,来源进步网www.szjjedu.com
又因为 ,四边形 的面积 ,……………11分
所以四棱锥 的体积 . ………………12分
同理,四棱锥 的体积 .
所以多面体 的体积 . ………………14分
18.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:因为 , ,来源进步网www.szjjedu.com
所以 . …… 2分
令 ,得 . …… 3分
当 变化时, 和 的变化情况如下:
↘ ↗
……………… 5分
故 的单调减区间为 ;单调增区间为 .………… 6分来源进步网www.szjjedu.com
(Ⅱ)解:由(Ⅰ),得 的单调减区间为 ;单调增区间为 .
所以当 ,即 时, 在 上单调递增,
故 在 上的最小值为 ; … 8分来源进步网www.szjjedu.com
当 ,即 时,
在 上单调递减, 在 上单调递增,
故 在 上的最小值为 ;………10分
当 ,即 时, 在 上单调递减,
故 在 上的最小值为 . ………12分
所以函数 在 上的最小值为 ……13分
19.(本小题满分14分)来源进步网www.szjjedu.com
(Ⅰ)解:抛物线 的焦点为 . …… 1分
由题意,得直线 的方程为 , ……… 2分
令 ,得 ,即直线 与y轴相交于点 ……… 3分
因为抛物线 的焦点在直线 的下方,
所以 ,来源进步网www.szjjedu.com
解得 .
因为 ,
所以 . …… 5分
(Ⅱ)解:结论:四边形 不可能为梯形. …… 6分
理由如下:来源进步网www.szjjedu.com
假设四边形 为梯形. …… 7分
由题意,设 , , ,
联立方程
消去y,得 , 来源进步网www.szjjedu.com
由韦达定理,得 ,所以 . ……………… 8分
同理,得 . ………… 9分
对函数 求导,得 ,
所以抛物线 在点 处的切线 的斜率为 , ……… 10分
抛物线 在点 处的切线 的斜率为 . ………11分
由四边形 为梯形,得 或 .
若 ,则 ,即 ,来源进步网www.szjjedu.com
因为方程 无解,所以 与 不平行. ……12分
若 ,则 ,即 ,
因为方程 无解,所以 与 不平行.……13分
所以四边形 不是梯形,与假设矛盾.
因此四边形 不可能为梯形. ………14分
20.(本小题满分13分)来源进步网www.szjjedu.com
(Ⅰ)解:因为等比数列 的 , ,
所以 , , . ……… 1分
所以 , , . …… 2分
则 . ……… 3分
(Ⅱ)证明:(充分性)因为 ,来源进步网www.szjjedu.com
所以 对一切正整数n都成立.
因为 , ,
所以 . … 5分
(必要性)因为对于任意的 , ,
当 时,由 ,得 ; ……………… 6分
当 时,由 , ,得 .来源进步网www.szjjedu.com
所以对一切正整数n都有 . …………… 7分
因为 , ,
所以对一切正整数n都有 . ………… 8分
(Ⅲ)证明:因为 ,来源进步网www.szjjedu.com
所以 , . ………… 9分
因为 ,
所以 , . ………………10分
由 ,得 . ………11分
因为 ,
所以 ,来源进步网www.szjjedu.com
所以 ,即 . ……13分
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