北京市西城区2013—2014学年高三上数学(理科)期末考试试卷及答案

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北京市西城区2013—2014学年高三上数学(理科)期末考试试卷及答案
第Ⅰ卷（选择题  共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．来源进步网www.szjjedu.com
1．设集合 ， ，则集合 （   ）
（A）        （B）        （C）         （D）
2．已知复数z满足 ，那么 的虚部为（   ）来源进步网www.szjjedu.com
（A）      （B）       （C）       （D）
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若 ， ， ，则 （   ）来源进步网www.szjjedu.com
（A）      （B）      （C）      （D）
4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（   ）
  （A）
（B）
（C） ]来源进步网www.szjjedu.com
（D）
5．已知圆 与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧 的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是（   ）
（A）            （B）（C）            （D） 来源进步网www.szjjedu.com
6． 若曲线 为焦点在 轴上的椭圆，则实数 , 满足（   ）
（A）         （B）        （C）          （D）
7．定义域为R的函数 满足 ，且当 时， ，则当 时， 的最小值为（    ）来源进步网www.szjjedu.com
（A）          （B）            （C）          （D） 
8. 如图，正方体 的棱长为 ，动点P在对角线 上，过点P作垂直于 的平面 ，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设 x，则当 时，函数 的值域为（     ）
（A）             （B） 来源进步网www.szjjedu.com（C）               （D）
第Ⅱ卷（非选择题  共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9. 在平面直角坐标系 中，点 ， ，若向量 ，则实数  _____．
10．若等差数列 满足 ， ，则公差 ______； ______．来源进步网www.szjjedu.com
11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．来源进步网www.szjjedu.com
12．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. （用数字作答）
13． 如图， 为圆 上的两个点， 为 延长线上一点， 为圆 的切线， 为切点. 若 ， ，则 ______； ______．来源进步网www.szjjedu.com
14．在平面直角坐标系 中，记不等式组 所表示的平面区域为 .在映射 的作用下，区域 内的点 对应的象为点 .
（1）在映射 的作用下，点 的原象是     ；来源进步网www.szjjedu.com
（2）由点 所形成的平面区域的面积为______．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）来源进步网www.szjjedu.com
已知函数 ， ，且 的最小正周期为 .
（Ⅰ）若 ， ，求 的值；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）求函数 的单调增区间.

16．（本小题满分13分）
以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以 表示．
（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求 的值；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；
（Ⅲ）当 时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为 ，求随机变量 的分布列和数学期望．

17．（本小题满分14分）
如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形， ，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3， H是CF的中点.
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）求直线DH与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角 的大小.

18．（本小题满分13分）
已知函数 ，其中 是自然对数的底数， .
（Ⅰ）求函数 的单调区间；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）当 时，试确定函数 的零点个数，并说明理由.

19．（本小题满分14分）
已知 是抛物线 上的两个点，点 的坐标为 ，直线 的斜率为k， 为坐标原点. 来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅰ）若抛物线 的焦点在直线 的下方，求k的取值范围；
（Ⅱ）设C为W上一点，且 ，过 两点分别作W的切线，记两切线的交点为 ，求 的最小值. 来源进步网www.szjjedu.com

20．（本小题满分13分）
设无穷等比数列 的公比为q，且 ， 表示不超过实数 的最大整数（如 ）,记 ，数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 .
（Ⅰ）若 ，求 ；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）若对于任意不超过 的正整数n，都有 ，证明： .
（Ⅲ）证明： （ ）的充分必要条件为 .

参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 来源进步网www.szjjedu.com
1．B      2．C     3．D     4．B     5．A      6．C     7．A     8．D
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．    10．           11．      12．     13．             14．    
注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅰ）解：因为 的最小正周期为 ，
      所以  ，解得 ．    ……… 3分
      由  ，得 ，
即  ，    …… 4分
      所以  ， .
      因为  ，来源进步网www.szjjedu.com
      所以 .     …… 6分
（Ⅱ）解：函数  
             … 8分
           
，     ……10分来源进步网www.szjjedu.com
由 ，   ………11分
解得  ．    ………12分
所以函数 的单调增区间为 .…………13分
16．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：依题意，得  ，      ……… 2分
解得  .                                                …… 3分
（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件 ，          …… 4分来源进步网www.szjjedu.com
依题意  ，共有10种可能.                      …… 5分
由（Ⅰ）可知，当 时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，
所以当 时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．… 6分
所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率 ．     …… 7分
（Ⅲ）解：当 时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有 种， 它们是： ， ， ， ， ， ， ， ， ，                ……… 9分来源进步网www.szjjedu.com
则这两名同学成绩之差的绝对值 的所有取值为 .    … 10分
因此 ， ， ， ，
…… 11分
所以随机变量 的分布列为：来源进步网www.szjjedu.com
  0 1 2 3 4
          
……12分
所以 的数学期望 ．………13分
17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为四边形 是菱形，来源进步网www.szjjedu.com
所以  .                                          …… 1分
因为平面 平面 ，且四边形 是矩形，
所以  平面 ，                                …… 2分
又因为  平面 ，
所以  .                                        …… 3分
因为  ，
所以  平面 .         …… 4分
（Ⅱ）解：设 ，取 的中点 ，连接 ，
因为四边形 是矩形， 分别为 的中点，来源进步网www.szjjedu.com
所以  ，
又因为  平面 ，所以  平面 ，
由 ，得 两两垂直. 来源进步网www.szjjedu.com
所以以 为原点， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系.                                …… 5分
因为底面 是边长为2的菱形， ， ，
所以  ， ， ， ，
， ， .       ………………6分
因为  平面 ，来源进步网www.szjjedu.com
所以平面 的法向量 . …………7分
设直线 与平面 所成角为 ，
由  ，
得  ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .     ………9分来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得 ， .
设平面 的法向量为 ，
所以                                   ………10分
即    来源进步网www.szjjedu.com
令 ，得 .                        ……11分
由 平面 ，得平面 的法向量为 ，
则 .   ……13分
由图可知二面角 为锐角，
所以二面角 的大小为 .      ……14分
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为 ， ，来源进步网www.szjjedu.com
所以 ．                ……… 2分
令 ，得 ．              ……… 3分
当 变化时， 和 的变化情况如下：
      
      
  ↘  ↗
……… 5分
故 的单调减区间为 ；单调增区间为 ．…… 6分
（Ⅱ）解：结论：函数 有且仅有一个零点.             … 7分来源进步网www.szjjedu.com
理由如下：
由 ，得方程 ，
显然 为此方程的一个实数解. 
所以 是函数 的一个零点.        …… 9分
当 时，方程可化简为 .
设函数 ，则 ，来源进步网www.szjjedu.com
令 ，得 ．
当 变化时， 和 的变化情况如下：
      
      
  ↘  ↗
即 的单调增区间为 ；单调减区间为 ．来源进步网www.szjjedu.com
所以 的最小值 .      …………11分
因为  ，
所以 ，
所以对于任意 ， ，
因此方程 无实数解．
所以当 时，函数 不存在零点. 来源进步网www.szjjedu.com
综上，函数 有且仅有一个零点.   ………13分
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：抛物线 的焦点为 .             … 1分
由题意，得直线 的方程为 ，  …… 2分
令  ，得 ，即直线 与y轴相交于点 .   …… 3分
因为抛物线 的焦点在直线 的下方，来源进步网www.szjjedu.com
所以  ，
解得  .     ……… 5分
（Ⅱ）解：由题意，设 ， ， ，
联立方程  消去 ，得 ，来源进步网www.szjjedu.com
由韦达定理，得 ，所以  .      ……… 7分
同理，得 的方程为 ， .    ……… 8分
对函数 求导，得 ，来源进步网www.szjjedu.com
所以抛物线 在点 处的切线斜率为 ，
所以切线 的方程为 ， 即 .  …… 9分
同理，抛物线 在点 处的切线 的方程为 .……10分
联立两条切线的方程
解得 ， ，
所以点 的坐标为 .      …11分
因此点 在定直线 上.         ……12分来源进步网www.szjjedu.com
因为点 到直线 的距离 ，
所以 ，当且仅当点 时等号成立．   ……13分
由 ，得 ，验证知符合题意.
所以当 时， 有最小值 .   ……14分来源进步网www.szjjedu.com
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由等比数列 的 ， ，
得 ， ， ，且当 时， .       …… 1分
   所以 ， ， ，且当 时， .   …… 2分
      即           … 3分
（Ⅱ）证明：因为  ，来源进步网www.szjjedu.com
所以  ， .    … 4分
因为  ，
所以  ， .    …… 5分
     由  ，得  .           …… 6分
因为  ，来源进步网www.szjjedu.com
     所以  ，
     所以  ，即  .   ……… 8分
（Ⅲ）证明：（充分性）因为  ， ，来源进步网www.szjjedu.com
所以  ，
所以   对一切正整数n都成立.
因为  ， ，
所以  .        … 9分
（必要性）因为对于任意的 ， ，
当 时，由 ，得 ；
当 时，由 ， ，得 .
所以对一切正整数n都有 .来源进步网www.szjjedu.com
由  ， ，得对一切正整数n都有 ，    …10分
所以公比 为正有理数.   ……11分来源进步网www.szjjedu.com
假设  ，令 ，其中 ，且 与 的最大公约数为1.
因为 是一个有限整数，来源进步网www.szjjedu.com
所以必然存在一个整数 ，使得 能被 整除，而不能被 整除.
又因为 ，且 与 的最大公约数为1.
所以 ，这与 （ ）矛盾。
所以 .来源进步网www.szjjedu.com
因此 ， .      ………13分