北京市昌平区2013-2014学年初三上数学期末考试试题及答案

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北京市昌平区2013-2014学年初三上数学期末考试试题及答案
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）来源进步网www.szjjedu.com
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3和5，如果O1O2= 8，那么⊙O1和⊙O2的位置关系是
　　A．外切         B. 相交              C. 内切       D. 内含
2．在不透明的布袋中装有2个白球，3个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是来源进步网www.szjjedu.com
A．          B.              C.            D. 
3．如图，⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，如果∠ABC=30°，那么AC的长是
A．1   B．          C．    D．2                                  
4. 在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，使它与图中阴影部分组成的新图形构成中心对称图形，该小正方形的序号是来源进步网www.szjjedu.com
A．①             B．②            C．③          D．④
5．如图，在△ 中，点 分别在 边上，  ∥ ，若 ， ，则 等于
A.             B.              C.             D. 
6．当二次函数 取最小值时， 的值为来源进步网www.szjjedu.com
A．           B．              C．           D． 来源进步网www.szjjedu.com
7．课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，
测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米，那么旗杆AB的高度约是
A． 米      B． 米      C． 米      D． 米        
8．已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB为直径，以弦 （非直径）为对称轴将 折叠后与 相交于点 ，如果 ，那么 的长为来源进步网www.szjjedu.com
A．          B．          C．         D．
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）来源进步网www.szjjedu.com
9．如果 ，那么锐角 的度数为     . 来源进步网www.szjjedu.com
10．如果一个圆锥的母线长为4，底面半径为1，那么这个圆锥的侧面积为     ．
11．在1×2的正方形网格格点上放三枚棋子，按图所示的位置已放置了两枚棋子，如果第三枚棋子随机放在其它格点上，那么以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为     .
12．在平面直角坐标系 中，直线 和抛物线 在第一象限交于点A, 过A作 轴于点 .如果 取1，2，3，…，n时对应的△ 的面积为  ，那么 _____； _____．
三、解答题（共6道小题，第13题4分，第14 -18题各5分，共29分）
13. 如图1，正方形ABCD是一个6 × 6网格的示意图，其中每个小正方形的边长为1，位于AD中点处的点P按图2的程序移动．来源进步网www.szjjedu.com
（1）请在图中画出点P经过的路径；
（2）求点P经过的路径总长．



14. 计算： ．


15. 现有三个自愿献血者，两人血型为O型，一人血型为A型.若在三人中随意挑选一人献血，两年以后又从此三人中随意挑选一人献血，试求两次所献血的血型均为O型的概率(要求：用列表或画树状图的方法解答)．来源进步网www.szjjedu.com



16. 如图，从热气球C处测得地面A、B两处的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，求AB两处的距离. 来源进步网www.szjjedu.com

 

17. 已知抛物线与x轴相交于两点A(1，0)，B(-3，0)，与y轴相交于点C(0，3)．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)如果点 是抛物线上的一点，求△ABD的面积．来源进步网www.szjjedu.com



18. 如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，且 ， ，求AB的值.



四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）
19. 如图，在平面直角坐标系 中，⊙A与y轴相切于点 ，与x轴相交于M、N两点.如果点M的坐标为 ，求点N的坐标. 来源进步网www.szjjedu.com



20.（1）已知二次函数 ，请你化成 的形式，并在直角坐标系中画出 的图象；
（2）如果 ， 是（1）中图象上的两点，且 ，请直接写出 、 的大小关系；
（3）利用（1）中的图象表示出方程 的根来，要求保留画图痕迹，说明结果．来源进步网www.szjjedu.com



21. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F.
（1）求证：DE是⊙O的切线；来源进步网www.szjjedu.com
（2）若⊙O的半径为4，BE=2，求∠F的度数.




22. 阅读下面的材料：
小明遇到一个问题：如图（1），在□ABCD中，点E是边BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G.  如果 ，求 的值. 来源进步网www.szjjedu.com
他的做法是：过点E作EH∥AB交BG于点H，则可以得到△BAF∽△HEF.
请你回答：（1）AB和EH的数量关系为     ，CG和EH的数量关系为     ， 的值为     .
（2）如图（2），在原题的其他条件不变的情况下，如果 ，那么 的值为     （用含a的代数式表示）.
（3）请你参考小明的方法继续探究：如图（3），在四边形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F. 如果 ，那么 的值为     （用含m，n的代数式表示）. 来源进步网www.szjjedu.com
          

五、解答题（共3道小题，第23题7分，第24、25题各8分，共23分）
23.由于2013年第30号强台风“海燕”的侵袭，致使多个城市受到影响. 如图所示，A市位于台风中心M北偏东15°的方向上，距离 千米，B市位于台风中心M正东方向 千米处. 台风中心以每小时30千米的速度沿MF向北偏东60°的方向移动（假设台风在移动的过程中的风速保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强烈台风的影响. 来源进步网www.szjjedu.com
（1）A市、B市是否会受到此次台风的影响？说明理由. 来源进步网www.szjjedu.com
（2）如果受到此次台风影响,该城市受到台风影响的持续时间为多少小时?





                                                          备用图
24．已知二次函数y = x2 – kx + k – 1（ k＞2）.
（1）求证：抛物线y = x2 – kx + k - 1（ k＞2）与x轴必有两个交点；
（2）抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,若 ，求抛物线的表达式；来源进步网www.szjjedu.com
（3）以（2）中的抛物线上一点P（m,n）为圆心，1为半径作圆，直接写出：当m取何值时，x轴与 相离、相切、相交.



25.已知：四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，点E是射线CD上的一个动点（与C、D不重合），将△ADE绕点A顺时针旋转120°后，得到△ABE'，连接EE'.
（1）如图1，∠AEE'=       °；来源进步网www.szjjedu.com
（2）如图2，如果将直线AE绕点A顺时针旋转30°后交直线BC于点F，过点E作EM∥AD交直线AF于点M，写出线段DE、BF、ME之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，如果CE=2，AE= ，求ME的长.

参考答案及评分标准
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 A  C  D B  D A B A
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
题 号 9 10 11 12
答 案 来源进步网www.  szjjedu.com
4 , 2n(n+1)（各2分）
三、解答题（共6道小题，第13题4分，第14 -18题各5分，共29分）
13．解：（1）如图所示：
    ………………… 2分
（2）由题意得,点P经过的路径总长为： ．      ………… 4分
14．解：原式=   ………………………… 3分
        =    ……… 4分来源进步网www.szjjedu.com
= ．        ………………… 5分
15．解：列表如下：
　 O1 O2 A
O1 (O1，O1) (O1，O2) (O1，A)
O2 (O2，O1) (O2，O2) (O2，A)
A (A，O1) (A，O2) (A，A)
…………………………………… 4分　　
所以，两次所献血型均为O型的概率为 .………………………… 5分
16．解：依题意，可知：来源进步网www.szjjedu.com
   …………… 1分
         来源进步网www.szjjedu.com
     …………………………… 2分
  ， …………………… 3分
           ．
        ∴ ．   ………………………………… 4分
.   ………………………… 5分
        ∴AB两处的距离为 米.
17．解：(1) ∵抛物线与y轴相交于点C(0，3),  来源进步网www.szjjedu.com
∴设抛物线的解析式为 .    ………………… 1分
            ∵抛物线与x轴相交于两点 ，
            ∴   ……………………………………2分
解得： 
           ∴抛物线的函数表达式为： .    …………………3分
      （2）∵点 是抛物线上一点，
            ∴ .    …………………………………4分
            ∴  .   ………………………5分
18．解： ∵BD平分∠ABC，
         ∴∠ABC=2∠1=2∠2. 来源进步网www.szjjedu.com
         ∵∠ABC=2∠C，
         ∴∠C=∠1=∠2.       …………… 1分
         ∴ .  ……………… 2分
         ∴ .
         又∵∠A=∠A,
         ∴△ABD∽△ACB.   ………………………………… 3分
∴ .      ………………………………… 4分
         ∴ .来源进步网www.szjjedu.com
         ∴ （舍负）.   ………………………………5分来源进步网www.szjjedu.com
四、解答题（共４道小题，每小题5分，共20分）
19．解：连接AB、AM，过点A作AC⊥MN于点C．
∵⊙A与y轴相切于点B(0， )，
∴AB⊥y轴.
又∵AC⊥MN，x 轴⊥y轴，
∴四边形BOCA为矩形．
∴AC=OB= ，OC=BA．  
∵AC⊥MN，
∴∠ACM= 90°，MC=CN．        …………………… 2分
∵M( ，0)，来源进步网www.szjjedu.com
∴OM= ．
在 Rt△AMC中，设AM=r.
根据勾股定理得： .
即 ，求得r= ．
∴⊙A的半径为 ．   ……………………… 3分
即AM=CO=AB = ．    …………………… 4分
∴MC=CN=2 .
∴N( ， 0) .    ………………………… 5分
20．解：（1） 来源进步网www.szjjedu.com
                …………………… 1分
                .    …………………… 2分
画图象，如图所示． …………………… 3分
（2） ．………………………………… 4分
（3）如图所示，将抛物线 向上平移两个单位后得到抛物线 ，抛物线 与x轴交于点A、B，则A、B两点的横坐标即为方程 的根.… 5分

21．（1）证明：连接OD.
∵AB=AC, 来源进步网www.szjjedu.com
∴ .
∵OD=OC,
∴ .
∴ .
∴ ∥ .
∴ .  …………… 1分
∵DE⊥AB,
∴ .
∴ .
∴ .
∴DE是⊙O的切线. ……………………… 2分
（2）解：连接AD. 来源进步网www.szjjedu.com
∵AC为⊙O的直径，
∴ .
又∵DE⊥AB,
∴Rt ∽Rt .  ……………………  3分
∴ .
∴ .
∵⊙O的半径为4，
∴AB=AC=8.
∴ .
∴ .…………………………… 4分
在Rt 中，来源进步网www.szjjedu.com
∵ ，
∴ .
又∵AB=AC,
∴ 是等边三角形. 来源进步网www.szjjedu.com
∴
∴ .          ……………………5分
22．解：（1） , ,  .  …………… 3分
       （2） .       ………………………………… 4分
（3） .        ………………………… 5分
五、解答题（共3道小题，第23题7分，第24、25题各8分，共23分）
23．解：（1）如图1，过点A作AC⊥MF于点C, 过点B作BD⊥MF于点D．
依题意得：∠AME=15°，∠EMD=60°， , ，
∴∠AMC=45°，∠BMD=30°．来源进步网www.szjjedu.com
∴ ， ． ………… 2分
∵台风影响半径为60千米，
而 ， ，
∴A市不会受到此次台风影响，B市会受到此次台风影响.    ………… 4分
        （2）如图2，以点B为圆心，以60千米为半径作 交MF于P、Q两点，连接PB.
……………… 5分来源进步网www.szjjedu.com
            ∵ ，台风影响半径为60千米，
            ∴ .
            ∵ BD⊥PQ，
               PQ=2PD=60.    ………………… 6分
            ∵台风移动速度为30千米/小时，
            ∴台风通过PQ的时间为 小时. 来源进步网www.szjjedu.com
   即B市受台风影响的持续时间为 小时 .   ………………7分
24．（1）证明：∵  ，……………… 1分
又∵ ，
∴ .
∴ 即 . 
∴抛物线y = x2 – kx + k - 1与x轴必有两个交点.     …………… 2分
(2) 解：∵抛物线y = x2 – kx + k - 1与x轴交于A、B两点，
∴令 ，有 .来源进步网www.szjjedu.com
解得： .  ………………3分
∵ ，点A在点B的左侧，
∴ .
∵抛物线与y轴交于点C,
∴ .   ……………………… 4分
            ∵在Rt 中,  ,
∴ ,   解得 .来源进步网www.szjjedu.com
∴抛物线的表达式为 . ………………………… 5分
（3）解：当 或 时，x轴与 相离.   …………………6分
当 或 或 时，x轴与 相切.  ……………7分
当 或 时，x轴与 相交. ………………………8分
25．解：(1) 30°.  ………………………… 1分来源进步网www.szjjedu.com
        (2)当点E在线段CD上时， ；    ………………… 2分
           当点E在CD的延长线上，来源进步网www.szjjedu.com
            时， ；      …………………… 3分
            时， ； 
            时， .      ……………………4分
       (3)作 于点G, 作 于点H.
          由AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，得∠ABC=∠DCB=60°，
易知四边形AGHD是矩形和两个全等的直角三角形 .
          则GH=AD , BG=CH. 来源进步网www.szjjedu.com
          ∵ ,
          ∴点 、B、C在一条直线上. 来源进步网www.szjjedu.com
设AD=AB=CD=x,则GH=x,BG=CH= ,.
作 于Q.
在Rt△EQC中，CE=2,  ,
∴ ,  .来源进步网www.szjjedu.com
∴E'Q= .
……………………5分
          作 于点P.
          ∵△ADE绕点A顺时针旋转120°后，得到△ABE'.
∴△A EE'是等腰三角形， .
∴在Rt△AP E'中，E'P= .来源进步网www.szjjedu.com
∴EE'=2 E'P= .      …………………6分
∴在Rt△EQ E'中，E'Q= .
∴ .
∴ .           ……………………………… 7分
∴ ， .来源进步网www.szjjedu.com
∴
          在Rt△E'AF中, ,
   ∴Rt△AG E'∽Rt△FA E'. 来源进步网www.szjjedu.com
   ∴
∴ .来源进步网www.szjjedu.com
∴ .
由（2）知： .
∴ .      …………………… 8分