上海市宝山区2013—2014学年九年级上数学期末考试试卷及答案

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上海市宝山区2013—2014学年九年级上数学期末考试试卷及答案
一、选择题∶（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．下列各式中，正确的是（    ）来源进步网www.szjjedu.com
2．已知 △ 中， ，那么 表示（     ）的值．
3．二次函数 图像的顶点坐标是（     ）来源进步网www.szjjedu.com
4．如图，在平行四边形 中，如果 ， ，那么 等于（     ）
5．已知 、 、 分别为等腰△ 边 、 、 上的点，如果 ， ， ， ， ， ，那么 的长为（     ）
．5.5；                                    ．4.5；
．4；                                      ．3.5．
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6．如图，梯形 中， ∥ ， ⊥ ， ⊥ ，且 ， ，动点 从点 出发，沿折线 － － 以每秒1个单位长的速度运动到点 停止．设运动时间为 秒，△ 的面积为 ，则 关于 的函数图像大致是（     ）
二、填空题∶（共12题，每题4分，满分48分）
7．计算 的结果是          ．
8．不等式组 的解集是          ．来源进步网www.szjjedu.com
9．一元一次方程 的根的判别式是          ．
10．二次函数 的图像开口方向          ．来源进步网www.szjjedu.com
11．如图，二次函数 的图像开口向上，对称轴为直线 ，图像经过（3, 0），则 的值是          ．来源进步网www.szjjedu.com
12．抛物线 可以由抛物线 向          （平移）得到．
13．若 与 的方向相反，且 ，则 的方向与 的方向          ．
14．如图已知△ 中， 为边 上一点， 为边 上一点， ， ， ，当 的长度为          时△ 和△ 相似．来源进步网www.szjjedu.com
15．在△ 中， 、 都是锐角，若 ， ，则△ 的形状为          三角形．
16．某坡面的坡度为1∶ ，某车沿该坡面爬坡行进了          米后，该车起始位置和终止位置两地所处的海拔高度上升了5米．来源进步网www.szjjedu.com
17．在地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌（如图所示），已知立杆 的高度是6米，从侧面 测到路况警示牌顶端 点和低端 点的仰角分别是60°和45°，则路况警示牌宽 的值为          ．
18．如图，在平面直角坐标系中， △ 的顶点 的坐标为（9，0）， ，点 的坐标为（2，0），点 为斜边 上的一个动点，则 的最小值为          ．来源进步网www.szjjedu.com
三、解答题∶（共8题，第19—22题每题8分；第23、24题每题10分；第25题12分；第26题14分，共78分）
19．（本题满分8分）来源进步网www.szjjedu.com
化简并求值： ，其中 ．
20．（本题4+4=8分）
已知一个二次函数的顶点 的坐标为（1，0），且图像经过点 （2，3）．
（1）求这个二次函数的解析式. 来源进步网www.szjjedu.com
（2）设图像与 轴的交点为 ，记 ，试用 表示 （直接写出答案）．

21．（本题4+4=8分）
已知抛物线 ： 和抛物线 ： 相交于 、 ，其中 点的横坐标比 点的横坐标大．
（1）求 、 两点的坐标. 来源进步网www.szjjedu.com
（2）射线 与 轴正方向所相交成的角的正弦值．

22．（本题满分8分）
如图已知： ，求证： ．

23．（本题满分4+2+4=10分）
通过锐角三角比的学习，我们已经知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯
一确定，因此边长比与角的大小之间可以相互转化．类似的我们可以在等腰三角形中建立边角之间的联系. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（ ）．如下图在△ 中， ，顶角 的正对记作 ，这时 . 我们容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是互相唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1） _____________；  _____________；
（2）对于 ， 的正对值 的取值范围是_____________；
（3）试求 的值．来源进步网www.szjjedu.com

24．（本题满分6+4=10分）
如图 为正方形 边 延长线上一点， 交 于 ， ∥ 交 于 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的值．
25、（4+3+2+3=12分）
如图，已知抛物线 与 轴相交于 、 两点，与 轴相交于点 ，若已知 点的坐
标为 （8，0）．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；来源进步网www.szjjedu.com
（2）连接 、 ，试判断△ 与△ 是否相似？并说明理由；
（3） 为抛物线上 之间的一点， 为线段 上的一点，若 ∥ 轴，求 的最大值；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使△ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的 点坐标；若不存在，请说明理由．
26．（本题6+8=14分）
如图△ 中， 90°， 30°， ；在△ 中， 90°， 45°， ．现将△ 的直角边 与△ 的斜边 重合在一起，并将△ 沿 方向移动（如图）．在移动过程中， 、 两点始终在 边上（移动开始时点 与点 重合，一直移动至点 与点 重合为止）．
（1）在△ 沿 方向移动的过程中，有人发现： 、 两点间的距离随 的变化而变化，现设
， ，请你写出 与 之间的函数关系式及其定义域；
（2）请你进一步研究如下问题∶来源进步网www.szjjedu.com
问题①∶当△ 移动至什么位置，即 的长为多少时， 、 的连线与 平行？
问题②∶在△ 的移动过程中，是否存在某个位置，使得 ？如果存在，求出 的长度；
如果不存在，请说明理由；
问题③∶当△ 移动至什么位置，即 的长为多少时，以线段 、 、 的长度为三边长的三
角形是直角三角形？来源进步网www.szjjedu.com

答案与评分标准
一、选择题
1． ．2． ．3． ．4． ．5． ．6． ．来源进步网www.szjjedu.com
二、填空题
7． ．8． ．9． ．10．向上．11．0．12．左移两个单位．13．相同．
14．4或9．15．等边．16．13．17． ．18． ．
三、解答题∶来源进步网www.szjjedu.com
19．
解：原式           2分
         ．                  2分来源进步网www.szjjedu.com
    将 代入，            2分
原式 ．               2分
20．
解：（1）根据题意设抛物线解析式为  ．         2分
将 点坐标（2,3）代入得： ．
∴该抛物线解析式为 ．          2分
（2）易得∶  ．                      2分来源进步网www.szjjedu.com
     ∴ ．           2分
21．
解：（1）根据题意得∶ ．          2分
         解得∶ ， ．来源进步网www.szjjedu.com
由点 比点 的横坐标大，得： ， ．      2分
（2）过 作 ⊥ 轴于 ．来源进步网www.szjjedu.com
     易得 ， ．          2分
      ．
射线 与 轴正方向所相交成的角的正弦值为 ．  2分
22．
证明：∵ ，
      ∴△ ∽△ ．             2分
      ∴ ，               2分
      ∵ ，
∴ ．
∵ ，来源进步网www.szjjedu.com
∴△ ∽△ ．            1分
∴ ．               1分
23．
解：（1）1,2 ；                     4分
（2） ；                2分
（3）作 的平分线交边 于 ．        1分
   利用角度证△ ∽△ 和 ．  2分
      ．                1分
24．
证明：（1）∵ ∥ ，
     ∴ ．                  2分
           ∵ ∥ ，
           ∴ ．                   2分
           ∴ ．                   1分
           ∵ ，来源进步网www.szjjedu.com
           ∴ ．                    1分
      （2）根据题意得∶ ．            2分
           ∴ ．      2分
解：（1）∵抛物线 经过点 （8，0），∴ ．
         ∴抛物线的解析式为 ．来源进步网www.szjjedu.com
         又∵ ，
         ∴对称轴方程为直线 ．
（2）△ ∽△ ．易得 （0，4）.