北京市石景山区2013—2014学年高三上数学(理科)期末考试试卷及答

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北京市石景山区2013—2014学年高三上数学(理科)期末考试试卷及答案
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 来源进步网www.szjjedu.com
1．已知集合 ， ，那么 （    ）
A．       B．         C．       D．
2．复数 （    ）来源进步网www.szjjedu.com
A．  B．  C．  D．
3．已知向量 ， ，则“ ”是“ ∥ ”的（     ）来源进步网www.szjjedu.com
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知数列 为等差数列， ，那么数列 通项公式为（    ）
A．   B．来源进步网www.szjjedu.com
C．   D．  来源进步网www.szjjedu.com
5．执行如图所示的程序框图，若输入的 的值为 ，
则输出的 的值为（　　）
A． 来源进步网www.szjjedu.comB．C．  D． 
6． 在边长为 的正方形 中任取一点 ，则点 恰好落在正方形与曲线 围成的区域内(阴影部分)的概率为（    ）来源进步网www.szjjedu.com
A．  B．C．  D．
7．用 到 这 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（    ）
A．  B．   C．  D．
8．已知函数 满足 ，当 时， ，若在区间 上方程 有两个不同的实根，则实数 的取值范围是（    ）来源进步网www.szjjedu.com
A．  B．  C．  D．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知圆 的参数方程为  为参数 ，则圆 的直角坐标方程为_______________，圆心 到直线 的距离为______．
10．在 中，角 的对边分别为 ，若 ， ， ，则 ______．
11． 若 ， 满足约束条件 则 的最大值为         ．
12．如图，已知在 中， ， 是 上一点，来源进步网www.szjjedu.com
以 为圆心， 为半径的圆与 交于点 ，与 切
于点 ， ， ，则 的长为         ，
的长为         ．
13．已知抛物线 的焦点为 ，准线为直线 ，过抛物线上一点 作 于 ，若直线 的倾斜角为 ，则 ______．来源进步网www.szjjedu.com
14． 已知四边形 是边长为 的正方形，且 平面 ， 为 上动点，过 且垂直于 的平面交 于 ，那么异面直线 与 所成的角的度数为         ，当三棱锥 的体积取得最大值时， 四棱锥 的高 的长为         ．来源进步网www.szjjedu.com
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题满分13分）
已知函数  ．
（Ⅰ）求函数 的单调递增区间；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）求函数 在 上的最小值，并写出 取最小值时相应的 值．
16．（本小题满分13分）
北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为 分，规定测试成绩在 之间为体质优秀；在 之间为体质良好；在 之间为体质合格；在 之间为体质不合格．来源进步网www.szjjedu.com
    现从某校高三年级的 名学生中随机抽取 名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：
9 1 3 5 6           
8 0 1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 6 6 7 7 9
7 0 5 6 6 7 9         
6 4 5 8            
5 6              

（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；
（Ⅱ）根据以上 名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取 名学生，再从这 名学生中选出 人．来源进步网www.szjjedu.com
（ⅰ）求在选出的 名学生中至少有 名体质为优秀的概率；
（ⅱ）记 为在选出的 名学生中体质为良好的人数，求 的分布列及数学期望．
17.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是直角梯形，
， ∥ ，且 ， ， 为 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅲ）在线段 上是否存在一点 （不与 两点重合），使得 ∥平面 ?若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由．
18．（本小题满分13分）来源进步网www.szjjedu.com
已知函数 （ 为自然对数的底数）.
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 的单调区间；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅲ）已知函数 在 处取得极小值，不等式 的解集为 ，若 ，且 ，求实数 的取值范围.

19．（本小题满分14分）
已知椭圆 ： （ ）过点 ，且椭圆 的离心率为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）若动点 在直线 上，过 作直线交椭圆 于 两点，且 ，再过 作直线 .证明：直线 恒过定点，并求出该定点的坐标.

20．（本小题满分13分）
已知集合 ，对于数列 中 .
（Ⅰ）若 项数列 满足 ， ，则数列 中有多少项取值为零？( )来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）若各项非零数列 和新数列 满足 （ ）．
（ⅰ）若首项 ，末项 ，求证数列 是等差数列；
（ⅱ）若首项 ，末项 ，记数列 的前 项和为 ，求 的最大值和最小值．
参考答案
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A A C B B D
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． (两空的题目第一空2分，第二空3分)
题号 9 10 11 12 13 14
答案 
三、解答题共6小题，共80分．来源进步网www.szjjedu.com
15．（本小题共13分）来源进步网www.szjjedu.com
解：（Ⅰ）                           …………2分
               ，                          ……………4分
           ， ，
           ， ，                    ……………6分
所以函数 的单调递增区间为  ．    ……………7分
（Ⅱ）因为 ，
，  来源进步网www.szjjedu.com                              ……………9分
，
，                     ……………11分
      所以当 ，即 时，函数 取得最小值 ．
                                                          ……………13分
16．（本小题共13分）来源进步网www.szjjedu.com
解：（Ⅰ）根据抽样，估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有 人．
……………3分
（Ⅱ）依题意，体质为良好和优秀的学生人数之比为  ．
    所以，从体质为良好的学生中抽取的人数为 ，从体质为优秀的学生中抽取的人数为 ．                                             ……………6分
（ⅰ）设“在选出的 名学生中至少有 名体质为优秀”为事件 ，
则  ．  来源进步网www.szjjedu.com                                      
故在选出的 名学生中至少有 名体质为优秀的概率为 ．       …………9分
（ⅱ）解：随机变量 的所有取值为 ．                
，               
，
．     来源进步网www.szjjedu.com                               ……………12分
所以，随机变量 的分布列为:
  
      
                                                     
．                      ……………13分
17．（本小题共14分）来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅰ）证明：
因为 平面 ， 平面 ，
所以 .              ……………1分
                      
取 的中点 ，连结 ，
因为底面 为直角梯形， ∥ ， ，且 ，
所以四边形 为正方形，来源进步网www.szjjedu.com
所以 ，且 ，
所以 ，即 .                           ……………3分
又 ，来源进步网www.szjjedu.com
所以 平面 .                                     ……………4分
（Ⅱ）解：如图，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系 ．                                            ……………5分
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ．
因为 平面 ，来源进步网www.szjjedu.com
所以 为平面 的一个法向量．              ……………6分
     设平面 的法向量为 ,
     由 ， 得
     令 ，则 ， ，来源进步网www.szjjedu.com
     所以 是平面 的一个法向量．               ……………8分
     所以
     因为二面角 为锐角，
     所以二面角 的余弦值为 ．                    ……………9分
（Ⅲ）解：假设在线段 上存在点 （不与 两点重合），使得 ∥平面 ．来源进步网www.szjjedu.com
      设 ，则 ， ．
      设平面 的法向量为 ，
由 ， 得
令 ，则 ， ，
所以 是平面 的一个法向量．……………12分
因为 ∥平面 ，来源进步网www.szjjedu.com
所以 ，即 ，                ……………13分
解得 ，来源进步网www.szjjedu.com
所以在线段 上存在一点 （不与 两点重合），使得 ∥平面 ，且 ．                                                   ……………14分
18.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）当 时， ， ，   
，得 ，                              ……………2分
所以曲线 在点 处的切线方程为 .        ……………3分
（Ⅱ） .来源进步网www.szjjedu.com
当 时， 恒成立，此时 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；                                                       ……………5分
当 时， 时， ， 时， ，
此时 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .来源进步网www.szjjedu.com
……………7分
（Ⅲ）由题意知 得 ，经检验此时 在 处取得极小值.
……………8分
因为 ，所以 在 上有解，即 使 成立，                                                           ……………9分
即 使 成立，                             …………10分
所以 .来源进步网www.szjjedu.com
令 ， ，来源进步网www.szjjedu.com
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，来源进步网www.szjjedu.com
则 ，                                   ……………12分
    所以 .                                     ……………13分
19．（本小题共14分）
解：（Ⅰ）因为点 在椭圆 上，来源进步网www.szjjedu.com
所以 ，                                 
        所以 ，                                           ……………1分
        因为椭圆 的离心率为 ，
        所以 ，即   ，                          ……………2分
        解得 ，                                           ……………4分
        所以椭圆 的方程为 .                         ……………5分
  （Ⅱ）设 ， ，
    ①当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， ，来源进步网www.szjjedu.com
    由
得 ， ……………7分
所以 ，                              ……………8分
因为 ，即 为 中点，来源进步网www.szjjedu.com
所以 ，即 .来源进步网www.szjjedu.com
    所以 ，                     ……………9分
    因为直线 ，
    所以 ，
所以直线 的方程为 ，
即  ，来源进步网www.szjjedu.com
显然直线 恒过定点 .              ……………11分
②当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，
此时直线 为 轴，也过点 .        ……………13分
综上所述直线 恒过定点 .          ……………14分
20．（本小题共13分）来源进步网www.szjjedu.com
解：（Ⅰ）设数列 中项为 分别有 项．
由题意知
解得 ．来源进步网www.szjjedu.com
所以数列 中有 项取值为零．           ……………3分
（Ⅱ）
（ⅰ） 且 ，得到 ，
若 ，则满足 ．
此时 ，数列 是等差数列；来源进步网www.szjjedu.com
若 中有 个 ，则 不满足题意；
所以数列 是等差数列．                                   ……………7分
（ⅱ）因为数列 满足 ，来源进步网www.szjjedu.com
所以 ，
根据题意有末项 ，所以 ．
而 ，于是 为正奇数，且 中有 个 和 个 ．
 
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要求 的最大值，则只需 前 项取 ，后 项取 ，
所以  （ 为正奇数）．
要求 的最小值，则只需 前 项取 ，后 项取 ，来源进步网www.szjjedu.com
则  （ 为正奇数）． …………13分