北京市东城区2013—2014学年高三上数学(理科)期末考试试题及答案

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北京市东城区2013—2014学年高三上数学(理科)期末考试试题及答案
本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。来源进步网www.szjjedu.com
第一部分（选择题   共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。来源进步网www.szjjedu.com
（1）已知集合 ， ，则
（A）       （B）         （C）        （D） 
（2）在复平面内，复数   的对应点位于来源进步网www.szjjedu.com
（A）第一象限      （B）第二象限         （C）第三象限         （D）第四象限
（3）设 ，则“ ”是“直线 与直线 平行”的
（A） 充分而不必要条件         （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件             （D）既不充分也不必要条件 
（4）执行右图所示的程序框图，输出的a的值为
（A）    （B）  来源进步网www.szjjedu.com（C）    （D）
（5）在△ 中， ， ， ，则
（A）          （B）（C）         （D） 来源进步网www.szjjedu.com
（6）已知直线 与圆 相交于 ， 两点，若 ，则 的取值范围为来源进步网www.szjjedu.com
   （A）          （B）        （C）       （D）
（7）在直角梯形 中， ， ， , ，点 在线段  上，若 ，则 的取值范围是来源进步网www.szjjedu.com
（A）             （B）        （C）        （D）
（8）定义 设实数 满足约束条件 则  的取值范围是来源进步网www.szjjedu.com
（A）     （B）     （C）       （D） 
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若函数 为奇函数，当 时， ，则 的值为      ．
（10）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为              ．来源进步网www.szjjedu.com
（11）若点 为抛物线 上一点，则抛物线焦点坐标为         ；点 到抛物线的准线的距离为        ．来源进步网www.szjjedu.com
（12）函数 的最大值为       ．
（13）如图，已知点 ,点 在曲线
     上，若阴影部分面积与△ 面积相等时，则       ．来源进步网www.szjjedu.com

（14）设等差数列 满足：公差 ， ，且 中任意两项之和也是该数列中的一项. 若 ，则      ； 若 ，则 的所有可能取值之和为       .
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求 的值；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）求 在区间 上的最大值和最小值．
（16）（本小题共13分）来源进步网www.szjjedu.com
已知 是一个公差大于0的等差数列，且满足 ,  .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）若数列 满足：  ，求数列 的前 项和.
（17）（本小题共14分）
如图，在三棱柱 中， 平面  ， ，  ， 分别是 ， 的中点．来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅰ）求证： ∥平面 ；
（Ⅱ）求证：平面 平面 ；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
（18）（本小题共13分）来源进步网www.szjjedu.com
已知 ，函数 ．
（Ⅰ）当 时，求 的最小值；
（Ⅱ）若 在区间 上是单调函数，求 的取值范围．
（19）（本小题共13分）来源进步网www.szjjedu.com
已知椭圆  上的点到其两焦点距离之和为 ，且过点 ．
（Ⅰ）求椭圆方程；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ） 为坐标原点，斜率为 的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点 ， ，若 ，求△ 的面积.
（20）本小题共14分）来源进步网www.szjjedu.com
若无穷数列 满足：①对任意 ， ；②存在常数 ，对任意 ， ，则称数列 为“ 数列”.
（Ⅰ）若数列 的通项为  ，证明：数列 为“ 数列”；
（Ⅱ）若数列 的各项均为正整数，且数列 为“ 数列”，证明：对任意 ， ；
（Ⅲ）若数列 的各项均为正整数，且数列 为“ 数列”，证明：存在  ，数列 为等差数列. 来源进步网www.szjjedu.com

参考答案及评分标准
一、选择题（共8小题， 每小题5分，共40分）
（1）C    （2）D   （3）A     （4）C     （5）C     （6）A   （7）C     （8）B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）              （10）             （11）   ， 来源进步网www.szjjedu.com
（12）             （13）           （14）
三、解答题（共6小题，共80分）来源进步网www.szjjedu.com
（15）（共13分）
   解：（Ⅰ）由
，来源进步网www.szjjedu.com
得 ．
所以 ．     …………………8分
（Ⅱ）因为 ，
所以 ．来源进步网www.szjjedu.com
当 ，即 时，
函数 在区间 上的最大值为 ．
当 ，即 时，来源进步网www.szjjedu.com
函数 在 上的最小值为 ．……………13分
（16）（共13分）来源进步网www.szjjedu.com
   解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，则依题设 ．
　　　　　　由 ,可 得 ．
　　　　　由 ，得 ，可得 ．
　　　　　所以 ．来源进步网www.szjjedu.com
　　　　　可得 ．………………6分
　　（Ⅱ）设 ，则错误！不能通过编辑域代码创建对象。.
　　　　　即 ，来源进步网www.szjjedu.com
　　　　　可得 ，且 ．
　　　　　所以 ，可知  ．
　　　　　所以 ，
　　　　　所 以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
　　　　　所以前 项和 ．　………………13分
（17）（共14分）来源进步网www.szjjedu.com
证明：（Ⅰ）取 的中点 ，连结 ，交 于点 ，可知 为 中点，
       连结 ，易知四边形 为平行四边形，
      所以 ∥ ．来源进步网www.szjjedu.com
      又 平面 ， 平面 ，
　　　所以 ∥平面 ．……………………4分
证明：（Ⅱ）因为 ，且 是 的中点，
所以 ．
因为 平面 ，所以 ．
所以 平面 ．来源进步网www.szjjedu.com
又 ∥ ，所以 平面 ．
又 平面 ，来源进步网www.szjjedu.com
所以平面 平面 ．……………… ……９分
解：（Ⅲ）如图建立空间直角坐标系  ，
则 ， ,  ， ．
　　 ， ， ．
设平面 的法向量为 .来源进步网www.szjjedu.com
则    
所以   
令 .
则 .
设向量 与 的夹角为 ，
则 .来源进步网www.szjjedu.com
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . …………………14分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）当 时， （ ），
．来源进步网www.szjjedu.com
所以，当 时， ；当 时， ．
所以，当 时，函数有最小值 ．　　　…６分
（Ⅱ） ．来源进步网www.szjjedu.com
　　　当 时， 在 上恒大于零，即 ，符合要求．
　　　当 时，要使 在区间 上是单调函数，
　　　当且仅当 时， 恒成立．
　　　即 恒成立．来源进步网www.szjjedu.com
　　　设错误！不能通过编辑域代码创建对象。，
　　　则 ，
　　　又 ，所以  ，即 在区间 上为增函数，
　　　 的最小值为 ，所以 ．
综上，  的取值范围是 ，或 ．……………13分
（19）（共13分）来源进步网www.szjjedu.com
解（Ⅰ）依题意有 ，  ．
　　　　故椭圆方程为 ． ………………………５分
（Ⅱ）因为直线 过右焦点 ，设直线 的方程为  .
　　　联立方程组 来源进步网www.szjjedu.com
　　　消去 并整理得 ．（*）
　　　故 ，错误！不能通过编辑域代码创建对象。．
　　　 ．来源进步网www.szjjedu.com
　　　又 ，即 ．
　　　所以 ，可得 ，即  ．
　　　方程（*）可化为 ，来源进步网www.szjjedu.com
由 ，可得 ．来源进步网www.szjjedu.com
原点 到直线 的距离 .
所以 ．          …………………13分来源进步网www.szjjedu.com
（20）（共14分）
  （Ⅰ）证明：由 ，可得 ， ，
所以 ，
所以对任意 ， ．
又数列 为递减数列，所以对任意 ， ．
所以数列 为“ 数列”．……………………5分] 来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）证明：假设存在正整数 ，使得 ．
由数列 的各项均为正整数，可得 ．
由 ，可得 ．
且 ．
同理 ，来源进步网www.szjjedu.com
依此类推，可得，对任意 ，有 ．
因为 为正整数，设 ，则 .来源进步网www.szjjedu.com
　　　 在 中，设 ，则 ．
与数列 的各项均为正整数矛盾．来源进步网www.szjjedu.com
所以，对任意 ， .…………………10分
（Ⅲ）因为数列 为“ 数列”， 来源进步网www.szjjedu.com
所以，存在常数 ，对任意  ， ．
设 ．
由（Ⅱ）可知，对任意 ， ，
则 ．来源进步网www.szjjedu.com
若 ，则 ；若 ，则 ．
而 时，有 ．
所以 ， ， ，…， ，…，中最多有 个大于或等于 ，
否则与 矛盾．
所以，存在 ，对任意的 ，有 ．
所以，对任意 ，  ．来源进步网www.szjjedu.com
所以，存在  ，数列 为等差数列.……………………14分