北京市昌平区2013—2014学年高三上数学(理科)期末考试试题及答案

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北京市昌平区2013—2014学年高三上数学(理科)期末考试试题及答案
第Ⅰ卷（选择题  共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）来源进步网www.szjjedu.com
(1) 已知全集 ，集合 ,   , 则 来源进步网www.szjjedu.com
(A)         (B)         (C)         (D) 
(2) “ ”是“ ”的来源进步网www.szjjedu.com
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
(3) 给定函数① ，② ，③ ，④ ，其中在区间 上单调递增的函数的序号是来源进步网www.szjjedu.com
（A）② ③  （B）① ③    （C）① ④  （D）② ④w
(4) 执行如图所示的程序框图，输出的 值是
(A)(B)(C)  来源进步网www.szjjedu.com(D)
(5) 若实数 满足 则 的最小值是来源进步网www.szjjedu.com
(A)         (B)               (C)             (D)
(6) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是
(A)              (B) (C)             (D) 
(7) 连掷两次骰子得到的点数分别为 和 ,若记向量 与向量 的夹角为 ,则 为锐角的概率是来源进步网www.szjjedu.com
(A)          (B)              (C)            (D)    来源进步网www.szjjedu.com
（8）已知函数 在点 处的切线与 的图象有三个公共点，则 的取值范围是来源进步网www.szjjedu.com
（A）             （B）（C）              （D）
第二卷（非选择题  共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）
(9) 已知 是第二象限的角， ，则 的值为___________ . 来源进步网www.szjjedu.com
(10) 如图，在复平面内，复数 对应的向量为 ，则复数 =_______ .
(11) 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 _____ ，  _____.
(12)曲线 所围成的图形的面积等于___________ . 来源进步网www.szjjedu.com
(13) 在 中， ,则 ________ .
(14) 将含有 个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合 ,其中 ， ， ，若 中的元素满足条件： ， ， ，则称 为“完并集合”. 来源进步网www.szjjedu.com
①若 为“完并集合”，则 的一个可能值为           .（写出一个即可）  
②对于“完并集合” ，在所有符合条件的集合 中，其元素乘积最小的集合是                   .
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
(15)(本小题满分13分)
已知函数 .
（Ⅰ）求函数 的最小正周期；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）当 时，求函数 的取值范围.

(16)(本小题满分13分)
为了调研某校高一新生的身高（单位：厘米）数据，按 的比例对 名高一新生按性别分别进行“身高”抽样检查，测得“身高”的频数分布表如下表1、表2. 来源进步网www.szjjedu.com
表1：男生“身高”频数分布表
身高 
频数 2 5来源进步网www.szjjedu.com
14 13 4 2

表2：女生“身高”频数分布表
身高 

频数 1 7 12 6 3 1

（Ⅰ）求高一的男生人数并完成下面的频率分布直方图；
（Ⅱ）估计该校学生“身高”在 之间的概率；
（Ⅲ）从样本中“身高”在 的男生中任选 人，求至少有 人“身高”在 之间的概率. 来源进步网www.szjjedu.com

(17)(本小题满分14分)
在四棱锥 中， 平面 ，来源进步网www.szjjedu.com
, .
(Ⅰ)求证： ；
(Ⅱ)求 与平面 所成角的正弦值；
(Ⅲ)线段 上是否存在点 ,使 平面 ？说明理由.

(18)(本小题满分13分) 来源进步网www.szjjedu.com
在平面直角坐标系 中，已知点 ,圆 的圆心在直线 上，并且与直线 相切于点 .来源进步网www.szjjedu.com
(Ⅰ)求圆 的方程；来源进步网www.szjjedu.com
(Ⅱ)若动点 满足 ，求点 的轨迹方程；
（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，是否存在实数 ，使得 的取值范围是 ，说明理由.

(19)(本小题满分13分)
已知函数 .来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 的单调区间. 来源进步网www.szjjedu.com

(20)(本小题满分14分)
设满足以下两个条件的有穷数列 为 阶“期待数列”：
① ，② .来源进步网www.szjjedu.com
(Ⅰ)若等比数列 为 阶“期待数列”,求公比 ；来源进步网www.szjjedu.com
(Ⅱ)若一个等差数列 既是 阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式；
(Ⅲ)记 阶“期待数列” 的前 项和为 .
(1)求证:  ；来源进步网www.szjjedu.com
(2)若存在 ，使 ,试问数列 能否为 阶“期待数列”?若能,求出所有这样的数列；若不能，请说明理由. 来源进步网www.szjjedu.com

参考答案及评分标准
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）
答 案 A B B C C A B D
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。来源进步网www.szjjedu.com
   （9）        （10）         （11）  ；            （12）
   （13） ；    （14） （ ）（写出一个即可） ；  （第一空2分，第二空3分）来源进步网www.szjjedu.com
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
(15)(本小题满分13分) 来源进步网www.szjjedu.com
解：（Ⅰ）因为
              来源进步网www.szjjedu.com
              .来源进步网www.szjjedu.com
所以函数 的最小正周期 .             ……7分
（Ⅱ）因为
所以 .来源进步网www.szjjedu.com
所以 .
所以 .   来源进步网www.szjjedu.com                  
      所以函数 的取值范围为 .           ………13分
(16)(本小题满分13分)
解：(Ⅰ)因为样本中男生人数是 ,由抽样比例是 可得高一的男生人数是 .男生的频率分布直方图如图所示.  来源进步网www.szjjedu.com                           
                               ………4分
(Ⅱ)设 为事件“该校学生“身高”在 之间”. 来源进步网www.szjjedu.com
由表1和表2知,样本中“身高”在 中人数是
，样本的容量是 ,来源进步网www.szjjedu.com
所以样本中学生“身高”在 之间的频率是 .
由 估计学生“身高”在 之间的概率是 .   ………8分
(Ⅲ) 设 为事件“从样本中“身高”在 的男生中任选 人，至少有 人“身高”在 之间”. 来源进步网www.szjjedu.com
样本中“身高”在 之间的有 人,设其编号是 ；来源进步网www.szjjedu.com
样本中“身高”在 间的男生有 人,设其编号为 .
从中任取 人的结果总数是来源进步网www.szjjedu.com
    .
共 种. 来源进步网www.szjjedu.com
至少有 人“身高”在 间的有 种,
因此,所求概率是 .                               ………13分
【用排列组合公式计算可酌情给分】 
                                                  
(17)(本小题满分14分)
证明：(Ⅰ)在四棱锥 中，来源进步网www.szjjedu.com
因为 平面 ， 平面 ,
所以 .
       因为 ，来源进步网www.szjjedu.com
       所以 .
       因为 ,
       所以 平面 .
因为 平面 ,
所以 .                                          ………4分
(Ⅱ) 如图，以 为原点建立空间直角坐标系 .
    不妨设 ，则 .来源进步网www.szjjedu.com
则 .
           所以 ， .
           设平面 的法向量 .来源进步网www.szjjedu.com
           所以  .即 .
           令 ，则 .来源进步网www.szjjedu.com
           所以
           所以 来源进步网www.szjjedu.com
所以 与平面 所成角的正弦值为 .                ………9分
(Ⅲ)（法一）当 为线段 的中点时, 平面 .
如图：分别取 的中点 ,连结 .来源进步网www.szjjedu.com
     所以 ,且 .
     因为 且 ，来源进步网www.szjjedu.com
     所以 且 .
     所以四边形 是平行四边形. 来源进步网www.szjjedu.com
     所以 .
     因为 ，
    所以三角形 是等腰三角形.
    所以 .来源进步网www.szjjedu.com
        因为 平面 ，
        所以 .
        因为 ,来源进步网www.szjjedu.com
        所以 平面 .
        所以 平面 .来源进步网www.szjjedu.com
           即在线段 上存在点 ,使 平面 .
   （法二）设在线段 上存在点 ,当 时， 平面 .
           设 ，则 .
所以 .来源进步网www.szjjedu.com
即 .来源进步网www.szjjedu.com
所以 .来源进步网www.szjjedu.com
所以 .来源进步网www.szjjedu.com
由(Ⅱ)可知平面 的法向量 .
若 平面 ，则 .来源进步网www.szjjedu.com
即 .来源进步网www.szjjedu.com
解得 .
所以当 ，即 为 中点时， 平面 .     ………14分
(18)(本小题满分13分) 来源进步网www.szjjedu.com
解：（Ⅰ）设所求圆的圆心坐标为 ，半径为 .
     因为 圆心 在直线 上，来源进步网www.szjjedu.com
     所以  ，即圆心 .
     因为 圆 与直线 相切于点 ，
（法一）来源进步网www.szjjedu.com
所以 圆心 到直线 的距离 .
即  .
整理得： .来源进步网www.szjjedu.com
解得： .
（法二）  来源进步网www.szjjedu.com
所以 垂直于直线 .
所以 ，即 .
所以  .
所以 所求圆 的方程为 .        ………4分
（Ⅱ）设 .来源进步网www.szjjedu.com
因为  ，
所以 .
整理得  .来源进步网www.szjjedu.com
即点 的轨迹是以 为圆心，  为半径的圆 .………8分
（Ⅲ）存在实数 ，使得 的取值范围是 .来源进步网www.szjjedu.com
（1）当圆 与圆 外离时，依题意可得：来源进步网www.szjjedu.com
即
由 解得 .来源进步网www.szjjedu.com
由 解得 .
所以 .
（2）当圆 内含于圆 时，依题意可得：
即
由 ，解得 .
此时 ，与 矛盾. 来源进步网www.szjjedu.com
综上所述，存在实数 ，使得 的取值范围是 .    ………13分
(19)(本小题满分13分)
解：（Ⅰ）当 时， .来源进步网www.szjjedu.com
          因为 ，
          所以 .来源进步网www.szjjedu.com
          因为 ，来源进步网www.szjjedu.com
          所以函数 在点 处的切线方程为 .  ……6分
   （Ⅱ） 
（1）当 时， . 
因为 ，来源进步网www.szjjedu.com
当 时， .
所以函数 的单调减区间为 ，无单调增区间.
（2）当 时,  的定义域为 .来源进步网www.szjjedu.com
   当 时， ,
     所以函数 的单调减区间为 ，无单调增区间. 来源进步网www.szjjedu.com
（3）当 时， .
① 当 时，来源进步网www.szjjedu.com
    若 ，则 ，
    若 ，则 ，
所以函数 的单调减区间为 ，
函数 的单调增区间为 .来源进步网www.szjjedu.com
② 当 时， ，为常数函数，无单调区间.
③ 当 时，来源进步网www.szjjedu.com
若 ，则 ，
    若 ，则 ，来源进步网www.szjjedu.com
所以函数 的单调减区间为 ，来源进步网www.szjjedu.com
函数 的单调增区间为 .
综上所述，
当 时，函数 的单调减区间为 ，无单调增区间；
当 时，函数 的单调减区间为 ，无单调增区间；
当 时，来源进步网www.szjjedu.com
① 当 时，函数 的单调减区间为 ，
函数 的单调增区间为 ；
② 当 时， ，为常数函数，无单调区间；来源进步网www.szjjedu.com
③ 当 时，函数 的单调减区间为 ，
函数 的单调增区间为     ………13分
(20)(本小题满分14分) 来源进步网www.szjjedu.com
解: (Ⅰ) 若 ，则
由① 得 ，
由②得 或 .来源进步网www.szjjedu.com
若 ，由①得,  ，得 ，不可能. 来源进步网www.szjjedu.com
综上所述 .                                         ………4分
(Ⅱ)设等差数列 的公差为 .
因为 ，
所以 .来源进步网www.szjjedu.com
所以 .
因为 ，
所以由 得 .
由题中的①、②得
,来源进步网www.szjjedu.com
，
两式相减得 , 即 .
又 ,得 .来源进步网www.szjjedu.com
所以 .   ………9分
(Ⅲ) 记 中非负项和为 ,负项和为 .
则 , 得 .
（1） 因为 ，来源进步网www.szjjedu.com
所以 .
（2） 若存在 ，使 ，由前面的证明过程知：
，来源进步网www.szjjedu.com
且 .来源进步网www.szjjedu.com
记数列 的前 项和为 .
则由(1)知,  .
所以
因为 ，
所以 .来源进步网www.szjjedu.com
所以 , .
又 ,
则 .来源进步网www.szjjedu.com
所以 .
所以 与 不能同时成立.
所以对于有穷数列  ,来源进步网www.szjjedu.com
若存在 ，使 ，来源进步网www.szjjedu.com
则数列 不能为 阶“期待数列”. ………14分