江苏常州市2013-2014学年高二上数学(文)期末考试试题及答案

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江苏常州市2013-2014学年高二上数学(文)期末考试试题及答案
注意事项：来源进步网www.szjjedu.com
1．本试卷满分160分，考试用时120分钟．
   本试卷部分试题设置文科及理科选做题，请考生根据选科类别答题．
2．答题时，填空题和解答题的答案写在答题卡上对应题目的区域内，答案写在试卷上无效．本卷考试结束后，上交答题卡．来源进步网www.szjjedu.com
3．本场考试不得使用计算器或带有计算功能的电子词典等．
参考公式：来源进步网www.szjjedu.com
锥体的体积公式： ，其中 表示底面积， 表示高．
一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．来源进步网www.szjjedu.com
1．命题“若 ，则 ”的否命题为   ▲    ．来源进步网www.szjjedu.com
2．若直线 经过点 ，且与直线 垂直，则直线 的方程为   ▲    ．
3. “ ”是“不等式 成立”的   ▲    条件（在“充分不必要”， “必要不充分”， “充要”， “既不充分又不必要”中选一个填写）. 来源进步网www.szjjedu.com
4．圆心为 ，且经过点 的圆的标准方程为     ▲   ．来源进步网www.szjjedu.com
5．（文科做）曲线 在点（ ）处的切线的斜率为    ▲   ．来源进步网www.szjjedu.com
6．三棱锥 的侧棱 两两垂直且长度分别为2cm，3cm，1cm，则该三棱锥的体积是   ▲   cm3．来源进步网www.szjjedu.com
7. 若双曲线 的渐近线方程为 ，则它的离心率为 ▲ ．
8．已知点P在抛物线 上运动，F为抛物线的焦点，点M的坐标为（3,2），当PM+PF取最小值时点P的坐标为    ▲   ．来源进步网www.szjjedu.com
9．已知圆C经过直线 与坐标轴的两个交点，且经过抛物线 的焦点，则圆C的方程为    ▲   ．来源进步网www.szjjedu.com
10．已知动圆C与圆 及圆 都内切，则动圆圆心C的轨迹方程为  ▲   ．来源进步网www.szjjedu.com
11．（文科做）已知一个圆锥的母线长为3，则它的体积的最大值为   ▲   ． 
12．如图，在正方体 中，点 在面对角线 上运动，给出下列四个命题：
① ∥平面 ；     ② ；来源进步网www.szjjedu.com
③平面 ⊥平面 ；④三棱锥 的体积不变.
则其中所有正确的命题的序号是   ▲   ．
13．若直线 与曲线 恰有一个公共点，则实数 的取值范围为     ▲   ．
14． 已知椭圆 ： 的短轴长为2，离心率为 ，设过右焦点的直线 与椭圆 交于不同的两点A，B，过A，B作直线 的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记 ， 若直线l的斜率 ≥ ,则 的取值范围为    ▲   ．来源进步网www.szjjedu.com
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分14分）
已知 为实数， ：点 在圆 的内部；  ： 都有 .
（1）若 为真命题，求 的取值范围；来源进步网www.szjjedu.com
（2）若 为假命题，求 的取值范围；
（3）若“ 且 ”为假命题，且“ 或 ”为真命题，求 的取值范围．

16．（本小题满分14分）
如图，斜四棱柱 的底面 是矩形，平面 ⊥平面 ， 分别为 的中点. 求证：来源进步网www.szjjedu.com
（1） ；（2） ∥平面 .

17．（本小题满分14分）已知抛物线 的焦点为双曲线 的一个焦点，且两条曲线都经过点 .
（1）求这两条曲线的标准方程；来源进步网www.szjjedu.com
（2）已知点 在抛物线上，且它与双曲线的左，右焦点构成的三角形的面积为4，求点  的坐标.

18．（本小题满分16分）已知圆 .
（1）若直线 过点 ，且与圆 相切，求直线 的方程；来源进步网www.szjjedu.com
（2）若圆 的半径为4，圆心 在直线 ： 上，且与圆 内切，求圆  的方程．

19．（本小题满分16分）（文科做）已知函数 ， ， .
（1）若 ,设函数 ，求 的极大值；来源进步网www.szjjedu.com
（2）设函数 ，讨论 的单调性.

20．（本小题满分16分）已知 分别是椭圆 的左，右顶点，点 在椭圆  上，且直线 与直线 的斜率之积为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；来源进步网www.szjjedu.com
（2）点 为椭圆 上除长轴端点外的任一点，直线 ， 与椭圆的右准线分别交于点 ， ．来源进步网www.szjjedu.com
①在 轴上是否存在一个定点 ,使得 ?若存在，求点 的坐标；若不存在,说明理由；来源进步网www.szjjedu.com
②已知常数 ，求 的取值范围.

答案
一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1．“若 ，则 ” 2．   3．充分不必要  4.
5. （文科） （理科）    6.1   7.    8.（1，2） 9.  (写一般式也对) 10.   11.（文科） （理科）   12.①③④   13． 或      14． .来源进步网www.szjjedu.com
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15. （本小题满分14分）
解：（1）由题意得， ，解得 ，来源进步网www.szjjedu.com
故 为真命题时 的取值范围为 ．                       ……………………4分
（2）若 为真命题，则 ，解得 ，  
故 为假命题时 的取值范围 ．                ……………………8分
（3）由题意得， 与 一真一假，从而
当 真 假时有   无解；                      ……………………10分来源进步网www.szjjedu.com
当 假 真时有 解得 ．   ……………………12分
∴实数 的取值范围是 ．                      ……………………14分
16. （本小题满分14分）
证明：（1）由底面 为矩形得到 ，                ……………………2分
又∵平面 ⊥平面 ，平面  平面 平面= ，
∴ 平面 ．                                     ……………………4分
又∵ 面 ，∴ ．                        ……………………6分
（2）设 中点为 ，连结 ， ．
∵ 分别为 的中点，∴ ．     ……………………8分
在矩形 中，由 是 的中点，得到 且 ，  …………10分来源进步网www.szjjedu.com
∴ ．
∴四边形 是平行四边形，∴ . ……12分
∵ ， 平面  ，
  ∴ ∥平面 ．           ……………………14分
17. （本小题满分14分）来源进步网www.szjjedu.com
解：（1）∵抛物线 经过点 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的标准方程为 .                          ……………………3分
∴抛物线的焦点为 ，∴双曲线的焦点为 ．
法一：∴   ， ，
∴ ，    ．     ……………5分
∴ ．来源进步网www.szjjedu.com
∴双曲线的标准方程为 .             ……………………8分
法二： ，∵双曲线经过点 ，∴ ，  ……………5分
解得   ， .
∴双曲线的标准方程为 .             ……………………8分
（2）设点 的坐标为 ，由题意得，来源进步网www.szjjedu.com
，∴ ，                …………………11分
∵点 在抛物线上，∴ ，∴点 的坐标为 或 .   …………14分
18．（本小题满分16分）
解：（1）①若直线 的斜率不存在，直线 ： ，符合题意．   …………………2分
②若直线 的斜率存在，设直线 为 ，即 ．来源进步网www.szjjedu.com
由题意得，  ，                                 …………………4分
解得 ，∴直线 ： .                        …………………7分
∴直线 的方程是 或 ．                      …………………8分
（2）依题意，设 ，
由题意得，圆C的圆心 圆C的半径 ，  .         ……………12分
∴ ， 解得  ，来源进步网www.szjjedu.com
∴  或 .                                   …………………14分
∴圆 的方程为   或 ．       ………16分
19. （本小题满分16分）解：来源进步网www.szjjedu.com
（文科做）（1）当 时， ，定义域为 ，
则 .      …………………………………………………………………2分
令   ，列表：                                   …………4分


1 


+ 0 —

↗ 极大值 ↘

当 时， 取得极大值 .                        …………………7分
（2） ，∴ ．    ………………9分
若 ， ， 在 上递增；                …………………11分
若 ，当 时， ， 单调递增；来源进步网www.szjjedu.com
当 时， ， 单调递减．                 ………………14分
∴当 时， 的增区间为 ，当 时， 的增区来源进步网www.szjjedu.com间为 ，减区间为 ．       …………………16分
（理科做）因为 中点 为点 在平面 内的射影，所以 平面 ．过 作 的平行线交 与点 ，则 .
建立如图所示的空间直角坐标系 …………2分
（1） 设 ， ，则
, ．
∴ ．来源进步网www.szjjedu.com
∵ ， ∴  .                  ……………………6分
（2）由 ，得 ，于是
∵ ，                         ……………………8分
∴   ，
∴直线PD与AB所成的角的余弦值为 .                     ……………………10分
（3）设平面PAB的法向量为 ，可得 ，
设平面PCD的法向量为 ，来源进步网www.szjjedu.com
由题意得 ，
∵ ∴ 令 ，得到 ，     ………12分
∴ ，                            ……………………14分
∵平面 与平面 所成的二面角为 ，∴ ，解得 ，
即 ．     来源进步网www.szjjedu.com                                        ……………………16分
20. （本小题满分16分）
（1）由题意得， ，
  ， ∴ ，
由点 在椭圆C上，则有：来源进步网www.szjjedu.com
  ，         ……………………2分
由以上两式可解得 ．
∴椭圆方程为 ．      ……… 4分
（2）①椭圆右准线的方程为 ．                            …………………5分
假设存在一个定点 ,使得 ．设点  ( )．
直线 的方程为 ，令 ， ，∴点 坐标为 ．
直线 的方程为 ，令 ， ，来源进步网www.szjjedu.com
∴点 坐标为 ．                                    …………………7分
若 ，则 ，∵  ， ，
∴ ．        ………………9分
∵点 在椭圆 上，∴ ，∴  ，代入上式，得  ，
∴ ，∴点 的坐标为 ．                  ………………11分
②∵ ，  ，
∴ ．来源进步网www.szjjedu.com
∵ ， ，∴ ．
∴    ．              …………………13分
设函数 ，定义域为 ，
当 时，即 时， 在 上单调递减， 的取值范围为 ，
当 时，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， 的取值范围为 .来源进步网www.szjjedu.com
综上，当 时， 的取值范围为 ，来源进步网www.szjjedu.com
当时， 的取值范围为 ．        ………………16分