广东省各地2013—2014学年高三上数学(理)期末考试试题圆锥曲线部

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广东省各地2013—2014学年高三上数学(理)期末考试试题圆锥曲线部分分类汇编总及答案
一、选择题来源进步网www.szjjedu.com
1、（广州市2014届高三1月调研测试）若点 和点 到直线 的距离依次为1和2，则这样的直线有来源进步网www.szjjedu.com
A．1条               B．2条               C．3条               D．4条
答案：C来源进步网www.szjjedu.com
2、（惠州市2014届高三第三次调研考）设椭圆 的右焦点与抛物线
的焦点相同，离心率为 ，则此椭圆的方程为（   ）来源进步网www.szjjedu.com
．     ．     ．     ．
答案：A来源进步网www.szjjedu.com
3、（揭阳市2014届高三学业水平考试）若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线的斜率为来源进步网www.szjjedu.com
A.           B.              C.             D. 
答案：B
4、（增城市2014届高三上学期调研）与圆 及圆 都相外切的圆的圆心在
(A)一个椭圆上  (B) 一支双曲线上   (C) 一条抛物线上    (D) 一个圆上
答案：B
5、（江门市2014届高三调研考试）已知点 ， ，则线段 的垂直平分线的方程是
A．      B．      C．      D．
答案：C来源进步网www.szjjedu.com
6、（江门市2014届高三调研考试）平面直角坐标系中，抛物线 与函数 图象的交点个数为来源进步网www.szjjedu.com
A．          B．          C．          D．
答案：D
二、填空题
1、（佛山市2014届高三教学质量检测（一））设 是双曲线 的两个焦点， 是双曲线与椭圆 的一个公共点，则 的面积等于_________来源进步网www.szjjedu.com
答案：24来源进步网www.szjjedu.com
2、（省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末）已知直线 过抛物线 的焦点，直线 与抛物线 围成的平面区域的面积为
则 ______ ，          .  来源进步网www.szjjedu.com
答案：
三、解答题
1、（佛山市2014届高三教学质量检测（一））
如图 所示,已知椭圆 的两个焦点分别为 、 ,且 到直线 的距离等于椭圆的短轴长. 来源进步网www.szjjedu.com
 (Ⅰ) 求椭圆 的方程；
(Ⅱ) 若圆 的圆心为 ( ),且经过 、 , 是椭圆 上的动点且在圆 外,过 作圆 的切线,切点为 ,当 的最大值为 时,求 的值.
【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为 ( ),来源进步网www.szjjedu.com
依题意, ,             …………………………………………1分
所以                                  ……………………………………2分
   又 ,                                ……………………………………3分
所以 ,                         ………………………………………4分
所以椭圆 的方程为 .   ……………………………………………………5分
   (Ⅱ) 设 (其中 ), ……………………………………………6分
圆 的方程为 ,………………………………………7分来源进步网www.szjjedu.com
因为 ,
所以  …………………………………8分
                       ……………………………9分
当 即 时,当 时, 取得最大值, ……………………10分
且 ,解得 (舍去).   ……………………11分
   当 即 时,当 时, 取最大值,  ……………………12分
   且 ,解得 ,又 ,所以 .………13分
   综上,当 时, 的最大值为 .  ……………………………………14分
2、（广州市2014届高三1月调研测试）来源进步网www.szjjedu.com
如图7，已知椭圆 的方程为 ，双曲线 的两条渐近线为 ．过椭圆 的右焦点 作直线 ，使 ，又 与 交于点 ，设 与椭圆 的两个交点由上至下依次为 ， ．
（1）若 与 的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，来源进步网www.szjjedu.com
求椭圆 的方程；
（2）求 的最大值．
解：（1）因为双曲线方程为 ，
所以双曲线的渐近线方程为 ．………………………………………………1分
因为两渐近线的夹角为 且 ，所以 ．来源进步网www.szjjedu.com
所以  ．…………………………………………………………2分
所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ， ．来源进步网www.szjjedu.com
所以椭圆 的方程为 ．…………………………………………4分
（2）因为 ，所以直线 与的方程为 ，其中 ．………………5分
因为直线 的方程为 ，来源进步网www.szjjedu.com
联立直线 与 的方程解得点 ．……………………………………6分
设 ，则 ．……………………………………………………7分
因为点 ，设点 ，来源进步网www.szjjedu.com
则有 ．
解得 ， ．………………………………………………8分
因为点 在椭圆 上，来源进步网www.szjjedu.com
所以 ．来源进步网www.szjjedu.com
即 ．
    等式两边同除以 得 ……………………10分
所以 ………………………………………11分
．………………………12分
所以当 ，即 时， 取得最大值 ．………………13分
故 的最大值为 ．………………………………………14分
3、（增城市2014届高三上学期调研）来源进步网www.szjjedu.com
已知点 直线AM,BM相交于点M，且 .
（1）求点M的轨迹 的方程；
（2）过定点（0,1）作直线PQ与曲线C交于P,Q两点，且 ，求直线PQ的方程.

（1）解：设M(x,y),                                1分来源进步网www.szjjedu.com
则                    3分
∴                                  4分
∴                                6分（条件1分）
（2）当直线PQ的斜率不存在时，即PQ是椭圆的长轴，其长为 ，显然不合，即直线PQ的斜率存在，                        7分来源进步网www.szjjedu.com
设直线PQ的方程是y=kx+1,
则 ，                                             8分
联立 ，消去y得                  9分
∵ ，∴k ,                    10分来源进步网www.szjjedu.com
                                    11分
∴
，                                                 12分
∴  ， ，                    13分
所以直线PQ的方程是y= x+1。                                14分来源进步网www.szjjedu.com
4、（省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末）在平面直角坐标系中，已知点 及直线 ，曲线 是满足下列两个条件的动点 的轨迹：① 其中 是 到直线 的距离；② 来源进步网www.szjjedu.com
(1) 求曲线 的方程；
(2) 若存在直线 与曲线 、椭圆 均相切于同一点，求椭圆 离心率 的取值范围. 来源进步网www.szjjedu.com
解：（1） ，
         ，        ………………… ……………2分
由① 得：来源进步网www.szjjedu.com
，
      即               ………………………………………4分
将 代入②得： ，
解得：  来源进步网www.szjjedu.com
所以曲线 的方程为：               …………………6分
（2）(解法一)由题意，直线 与曲线 相切，设切点为 ， 
则直线 的方程为 ，
即             ………………………………7分
       将 代入椭圆  的方程 ，并整理得：
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由题意，直线 与椭圆 相切于点 ，则来源进步网www.szjjedu.com
，
即          ……………………………………9分
又  即  联解得：        ………10分
由 及 得 来源进步网www.szjjedu.com
故 ，        ………………………………12分
得 又 故 来源进步网www.szjjedu.com
所以椭圆 离心率 的取值范围是     ………………14分
（2）(解法二)设直线 与曲线 、椭圆  均相切于同一点 则  ……………………………………7分
由 知 ;来源进步网www.szjjedu.com
由 知 ,
故           ……………………………9分
联解 ,得   …………………………10分来源进步网www.szjjedu.com
由 及 得
故 ，        ………………………………12分
得 又 故 来源进步网www.szjjedu.com
所以椭圆 离心率 的取值范围是        ……………14分
5、（惠州市2014届高三第三次调研考）
如图，已知动圆 过定点 且与 轴相切，点 关于圆心 的对称点为 ，动点 的轨迹为 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）设 是曲线 上的一个定点，过点 任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线 相交于另外两点 、 ，
证明：直线 的斜率为定值．来源进步网www.szjjedu.com
解：（1）（法1）设 ，因为点 在圆 上，
且点 关于圆心 的对称点为 ，
所以 ，              …………1分
且圆 的直径为 ．…………2分
由题意，动圆 与 轴相切，
所以 ，两边平方整理得： ，
所以曲线 的方程 ．            ………………6分来源进步网www.szjjedu.com
（法2）因为动圆 过定点 且与 轴相切，所以动圆 在 轴上方，连结 ，因为点 关于圆心 的对称点为 ，所以 为圆 的直径．
过点 作 轴，垂足为 ，过点 作 轴，垂足为 （如图6－1）．
在直角梯形 中， ，
即动点 到定点 的距离比到 轴的距离1．……………3分
又动点 位于 轴的上方（包括 轴上），来源进步网www.szjjedu.com
所以动点 到定点 的距离与到定直线 的距离相等．
故动点 的轨迹是以点 为焦点，以直线 为准线的抛物线．
所以曲线 的方程 ．       ……………6分
（2）①（法1）由题意，直线 的斜率存在且不为零，如图6－2．
设直线 的斜率为 （ ），则直线 的斜率为 ．  ………………7分
因为 是曲线 ： 上的点，来源进步网www.szjjedu.com
所以 ，直线 的方程为 ．
由 ，解得 或 ，
所以点 的坐标为 ，……………9分来源进步网www.szjjedu.com
以 替换 ，得点 的坐标为 ．   ……………10分
所以直线 的斜率 为定值．………14分
（法2）因为 是曲线 ： 上的点，所以 ， ．
又点 、 在曲线 ： 上，所以可设 ， ，   ……7分
而直线 ， 的倾斜角互补，
所以它们的斜率互为相反数，即 ，……9分来源进步网www.szjjedu.com
整理得 ．……10分   所以直线 的斜率 …11分
…13分   …14分为定值．………14分
6、（江门市2014届高三调研考试）
如图3，椭圆 的中心在坐标原点 ，过右焦点 且垂直于椭圆对称轴的弦 的长为3．
⑴ 求椭圆 的方程；来源进步网www.szjjedu.com
⑵ 直线 经过点 交椭圆 于 、 两点， ，求直线 的方程．
解：⑴设椭圆 的方程为 （ ）……1分
依题意， ……2分， ……4分来源进步网www.szjjedu.com
解得 ， ……6分，椭圆 的方程为 ……7分来源进步网www.szjjedu.com
⑵（方法一）连接ON，由椭圆的对称性 ……8分，因为 ，所以 ……9分，依题意， ……10分，所以 ……11分， ……13分，所以直线 的方程为 ……14分。来源进步网www.szjjedu.com
（方法二）设直线 的方程为 ……8分，解 ……9分，得 ， ……10分，依题意， ……11分，由 得
= ……12分，解得 ……13分，所求直线 的方程为 ……14分。
7、（揭阳市2014届高三学业水平考试）来源进步网www.szjjedu.com
如图（6），已知 是椭圆 的右焦点；  与 轴交于 两点，其中 是椭圆 的左焦点.
(1)求椭圆 的离心率；
(2)设 与y轴的正半轴的交点为 ，点 是点 关于y轴的对称点，
试判断直线 与 的位置关系；
(3)设直线 与椭圆 交于另一点 ，若 的面积为 ，求椭圆 的标准方程.8、（汕头市2014届高三上学期期末教学质量监测）
解：(1)∵圆 过椭圆 的左焦点，把 代入圆 的方程，得来源进步网www.szjjedu.com
，故椭圆 的离心率 ；-----------------------------3分
(2) 在方程 中令 得 ，可知点 为椭圆的上顶点，
由(1)知， ，故 ，故  ，---------------4分
在圆F的方程中令y=0可得点D坐标为 ，则点A为 ，-------------5分
于是可得直线AB的斜率 ，------------------6分
而直线FB的斜率 ，-----------------------7分
∵ ,来源进步网www.szjjedu.com
∴直线AB与 相切。-----------------------8分
（3）椭圆的方程可化为
由（2）知切线 的方程为 ------------------9分来源进步网www.szjjedu.com
解方程组 ，得点 的坐标为 ---------11分
而点 到直线 的距离 ，----------------12分
由  
解得 ，----------------------13分
∴椭圆的标准方程为 .-----------------------14分来源进步网www.szjjedu.com
9、（肇庆市2014届高三上学期期末质量评估）
已知椭圆 的离心率为 ,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 ，过椭圆 的右焦点的动直线 与椭圆 相交于 、 两点.
(1)求椭圆 的方程;
(2)若线段 中点的横坐标为 ,求直线 的方程; 来源进步网www.szjjedu.com
(3) 若线段 的垂直平分线与 轴相交于点 .设弦 的中点为 ,试求 的取值范围.
【解析】(1)依题意，有 ，   (1分)
即 ，  ，又 
解得                   (3分)
则椭圆方程为              (4分)   来源进步网www.szjjedu.com
(2)由（1）知 ，所以设过椭圆 的右焦点的动直线 的方程为
将其代入 中得， ，        (5分)
  ，设 , ,
则  ，∴ ，          (6分)
因为 中点的横坐标为 ，所以 ，解得          (7分) 来源进步网www.szjjedu.com
所以，直线 的方程                                  (8分)
（3）由（2）知 ,   
所以 的中点为    来源进步网www.szjjedu.com
所以  
                     (10分) 
直线 的方程为 , 由 ,得 ,
则 ,  所以                         (12分)
所以    
又因为 ,所以 . 所以 .
所以 的取值范围是                         (14分)
10、（珠海市2014届高三上学期期末）
已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 为原点. 来源进步网www.szjjedu.com
 （1）如图1，点 为椭圆 上的一点， 是 的中点，且 ，求点 到 轴的距离；
（2）如图2，直线 与椭圆 相交于 两点，若在椭圆 上存在点 ，使四边形 为平行四边形，求 的取值范围．
解：(1)由已知得 ， 来源进步网www.szjjedu.com
设 ,则 的中点为
    ，即
整理得
又有  ……………………②来源进步网www.szjjedu.com
由①②联立解得 或 (舍)
点 到 轴的距离为  (2)设 ， ，
四边形 是平行四边形
线段 的中点即为线段 的中点，即 ，
点 在椭圆上， 
即 来源进步网www.szjjedu.com
化简得 …………………③
由 得
由 得  ……………………………④
且
代入③式得 来源进步网www.szjjedu.com
整理得 代入④式得 ，又
  或
  的取值范围是