湖北黄冈市黄冈中学2013—2014学年高二上数学(理科)期末考试试题

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湖北黄冈市黄冈中学2013—2014学年高二上数学(理科)期末考试试题及答案
第Ⅰ卷(选择题  共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．来源进步网www.szjjedu.com
1．下列结论不正确的是 (　   )
A．若 ，则                B．若 ，则  C．若 ，则          D．若 ，则
2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
计算得
参照附表一（见Ⅰ卷后），得到的正确结论是（     ）
A．在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有 以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
D．有 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
3．若曲线 在点 处的切线方程是 ，则 =（    ）
A． 5 B． 4 C． 3 D． 2
4．设 ，则 等于（　　）
Ａ．1.6 B．3.2 C．6.4 D．12.8
5．两变量 与 的回归直线方程为 ，若 ,则 的值为（    ）
A．  B．  C．  D．
6．右图实线是函数 的图象，它关于点 对称. 如果它是一条总体密度曲线，则正数 的值为（    ）
A．  B．           C．  D．
7. 为长方形， ， ， 为 的中点，在长方形 内随机取一点，取到的点到 的距离大于 的概率为 (　　 )
A．          B．        C．    D．
8．如图为函数 的图象， 为函数 的导函数，则不等式
的解集为（    ）
9．已知函数 在 上为减函数，函数 在 上为增函数，则 的值等于（    ）
A．1           B．  C．2             D．3
10．已知 为R上的可导函数，且对 ，均有 ，则有（    ）
附表一：
  0.050 0.010 0.001
  3.841 6.635 10.828
第Ⅱ卷(非选择题  共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．
11．已知随机变量X服从正态分布 ，则           ．
12．从4名女生和2名男生中选出3名组成课外学习小组，如果按性别比例分层抽样，则组成此课外学习小组的概率是         ．
13．若曲线 存在垂直于 轴的切线，则实数 的取值范围是         ．
14．现有10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币两张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是         ．
15．设 是函数 的导函数 的导数，定义：若 ，且方程 有实数解 ，则称点 为函数 的对称中心.有同学发现“任何一个三次函数都有对称中心”，请你运用这一发现处理下列问题：
设 ，则
（1）函数 的对称中心为          ；
（2）           ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
如图，已知直线 以及 上一点 ,直线 ，求圆心在 上且与直线 相切于点 的圆的方程．

17．（本小题满分12分）
已知函数 的图象过点 ,且在点 处的切线方程为 .
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 的单调区间．

18．（本小题满分12分）
一组数据 、 、 、 、 , 是这组数据的中位数,设 .
（1）求 的展开式中 的项的系数；
（2）求 的展开式中系数最大的项和系数最小的项．
19．（本题满分12分）
黄冈中学学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3 个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．
（1）设第一次训练时取到的新球个数为 ，求 的分布列和数学期望；
（2）在第一次训练时至少取到一个新球的条件下，求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．
20．（本小题满分13分）
在淘宝网上，某店铺专卖黄冈某种特产.由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量 （单位：千克）与销售价格 （单位：元/千克， ）满足：当 时， ， ；当 时， .已知当销售价格为 元/千克时，每日可售出该特产 千克；当销售价格为 元/千克时，每日可售出 千克.
（1）求 的值，并确定 关于 的函数解析式；
（2）若该特产的销售成本为 元/千克，试确定销售价格 的值，使店铺每日销售该特产所获利润 最大（ 精确到 元/千克）.
21．（本小题满分14分）
已知函数 （ 为常数, ）.
（1）若 是函数 的一个极值点，求 的值；
（2）当 时，判断 在 上的单调性；
（3）若对任意的 ，总存在 ，使不等式 成立，求实数
的取值范围.
参考答案
1、答案：B  解析：若 ，则 ，选B
2、答案：D
解析：由 ，而 ，故由独立性检验的意义可知选D.
3、答案：D  解析
4、答案：C 解析： ，选C；
5、答案：B 解析： ，
6、答案：A  解析：曲线与 轴围成的面积为1， 
7、答案：B    解析：:长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为 ,因此取到的点到O的距离小于1的概率为 ， 取到的点到O的距离大于1的概率为
8、答案：D 解析：当  时， ，则 ，故 是解集的一部分；同理 也是解集的一部分.故选D.
9、答案：C   解析： 在 上单减，则  在 上单增，则 在 上恒成立，即 恒成立，故 ，故 .
10、答案：C 
解析：构造函数 ，求导得 ，故函数 是定义在R上的减函数，故 ，即
，即
11、答案：0.28 解析： 
12、答案：    解析：抽样比为 ，故应抽取女生2人，男生1人，所以组成此课外学习小组的概率是 
13、答案：  解析： 有正实数解，即 有正实数解，
14、答案：23  解析：除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，100元人民币的取法有3种情况，再减去全不取的1种情况，所以共有 种.
15、答案： ；2014
解析：  ，则
又 ， ．令 得 ．故函数 的对称中心为 ．
设 在 上可知 关于对称点 的对称点 也在函数 上，
∴ ．∴ ．
∵ 
．
16、解： 设圆心为 ，半径为 ，依题意， .
设直线 的斜率 ，过 两点的直线斜率 ，因 ，故 ，
∴ ，解得 . .
所求圆的方程为 .
17、解：（1）由 的图象经过P（0，2），知d=2，所以
由在 处的切线方程是 ，知
故所求的解析式是 
（2）
解得   当
当
故 的单调增区间为 和 ，
单调减区间为 .
18、（1）解：依题意有：这组数据的中位数是7，即 ，
故 的展开式中 ，由 可知 ，故展开式中 的项的系数为   ．6分 
（2） 的展开式中共8项，其中第4项和第5项的二项式系数最大，而第5项的系数等于第5项二项式系数，故第5项的系数最大，即最大项为 ，第4项的系数等于第4项二项式系数的相反数，故第4项的系数最小，
即最小项为    12分
19、解：（1） 的所有可能取值为0，1，2．   ．  1分
设“第一次训练时取到 个新球（即 ）”为事件 （ 0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以
，        ．．3分
，       ． 4分
．        ．．． 5分
所以 的分布列为（注：不列表，不扣分）
  0 1 2
      
的数学期望为 ．     ．．6分
（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件 ．则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件 ．而事件 、 互斥，
所以， ．由条件概率公式，得

.
所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为
那么在第一次训练时至少取到一个新球的条件下，第二次训练时恰好取到一个新球的概率

20、解：（1）因为x=2时，y=700；x=3时，y=150，所以
解得
每日的销售量 　；　．5分
（2）由（I）知， 当 时：
每日销售利润 
   （ ）
  ，
当 或 时
当 时 ， 单增；当 时 ， 单减．
  是函数 在 上的唯一极大值点，  ；．9分
当 时：每日销售利润 =
在 有最大值，且  ． ．．12分
综上，销售价格 元/千克时，每日利润最大．　．．13分＇
21、解： .（1）由已知，得  且
， ， ， .
（2）当 时， , ,
当 时， .又 ， ，故 在 上是增函数.  
（3） 时，由（Ⅱ）知， 在 上的最大值为 ，
于是问题等价于：对任意的 ，不等式 恒成立.
记 ，（ ）
则 ，
当 时， ，  在区间 上递减，此时， ，
由于 ， 时不可能使 恒成立，
故必有 , .
若 ，可知 在区间 上递减，
在此区间上，有 与 恒成立矛盾，
故 ，这时 ， 在 上递增，恒有 ，满足题设要求， ，即 ，所以，实数 的取值范围为 .