2013—2014学年四川省绵阳市南山中学高三下二月份数学(理)月考试

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2013—2014学年四川省绵阳市南山中学高三下二月份数学(理)月考试题及答案
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．来源进步网www.szjjedu.com
1．已知集合M={x|x2﹣1≤0}，N={x| ，x∈Z}，则M∩N=
A．{﹣1，0，1}     B．{﹣1，0}     C．[﹣1，1）    D．[﹣1，0]
3．已知 的展开式中 的系数为 ,则
4．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为
5．设x＞0，y＞0，且 + =4， ，则z的最小值是
A． ﹣4 B． ﹣3 C． D． 
6．若A为不等式组 表示的平面区域，则当 从﹣2连续变化到1时，动直线 扫过A中的那部分区域的面积为
　 A．   B． 1 C．   D． 2
7．函数 （ ）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与 轴的交点，记∠APB=θ，则 的值是
A.        B. C.      D.
8．下列命题中：
①“x＞|y|”是“x2＞y2”的充要条件；
②若“∃x∈R，x2+2ax+1＜0”，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；
③已知平面α，β，γ，直线m，l，若α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β=l，l⊥m，则l⊥α；
④函数f（x）=（ ）x﹣ 的所有零点存在区间是（ ， ）．
其中正确的个数是
　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
9．某教师一天上3个班级的课，每班开1节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有排法有来源进步网www.szjjedu.com
　 A． 474种 B． 77种 C． 462种 D． 79种
10．已知函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围为
　 A． （ ，+∞） B． （﹣∞， ）C． （﹣ ，﹣2） D． （2， ）
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）等于　  　．来源进步网www.szjjedu.com
12．如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有　　个．
13．设 分别是椭圆的左、右焦点，与直线 相切的⊙ 交椭圆于点E，且点E是直线 与⊙ 的切点，则椭圆的离心率为              来源进步网www.szjjedu.com来源进步网www.szjjedu.com
14．已知在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（1，3），O为原点，且 ，（其中α+β=1，α，β均为实数），若N（1， 0），则 的最小值是　　．
15．已知 ，若 对任意实数 、 恒成立，则 的取值范围是_____           ___。
三．解答题：本大题共6小题，共75分．其中，16—19题每小题满分为12分，20题为13分，21题14分；解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
16.等差数列 的各项均为正数， ，前 项和为 ； 为等比数列， ,且 ， .
(Ⅰ)求通项公式 与 ； 
(Ⅱ)求
17.已知函数 的图像经过点A（0，1）、 。
(Ⅰ)当 时，求函数 的单调增区间；
(Ⅱ)已知 ，且 的最大值为 ，求 的值。

18. 某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.
(Ⅰ)求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；
(Ⅱ)用 表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求 的分布列和数学期望.
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19. 如图，已知菱形 的边长为 ， , .将菱形 沿对角线 折起，使 ，得到三棱锥 .
(Ⅰ)若点 是棱 的中点，求证: 平面 ；
(Ⅱ)求二面角 的余弦值；
(Ⅲ)设点 是线段 上一个动点，试确定 点的位置，使得 ，并证明你的结论.

20. 已知椭圆 ： （ ）经过（1，1）与（ ， ）两点．
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)过原点的直线 与椭圆C交于A、B两点，椭圆 上一点 满足 ．求证： 为定值．来源进步网www.szjjedu.com

21. 设函数 （ ）
(Ⅰ)讨论 的单调性；
(Ⅱ)若 有两个极值点 和 ，记过点 ，  的直线的斜率为 .问：是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．

答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D D B C A C A B
10. 解：f（x）=|xex|= ，
当x≥0时，f′（x）=ex+xex≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；
当x＜0时，f′（x）=﹣ex﹣xex=﹣ex（x+1），
由f′（x）=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）=﹣ex（x+1）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=﹣ex（x+1）＜0，f（x）为减函数，来源进步网www.szjjedu.com
所以函数f（x）=|xex|在（﹣∞，0）上有一个最大值为f（﹣1）=﹣（﹣1）e﹣1= ，
要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，
令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在（0， ）内，一个根在（  ，+∞）内，
再令g（m）=m2+tm+1，因为g（0）=1＞0，
则只需g（ ）＜0，即（  ）2+ t+1＜0，来源进步网www.szjjedu.com
解得：t＜﹣ ．
所以，使得函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围是（﹣∞，﹣ ）．     故选B．
二．填空题
11.    12. 3     13.       14.    15. 
三．解答题
16. 解：　(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.
依题意有S2b2＝6＋dq＝64，S3b3＝9＋3dq2＝960，解得d＝2，q＝8或d＝－65，q＝403.(舍去) ……4分
故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.       ………………………6分
(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，           …………8分
所以1S1＋1S2＋…＋1Sn＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1nn＋2＝121－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1n＋2…10分来源进步网www.szjjedu.com
＝121＋12－1n＋1－1n＋2 ＝34－ ………………………12分
17. 解：（1）由 得： 即  。
当 ，即  ）时， 为增函数。
∴函数 的单调增区间为 。                       ………6分
（2） ，即有 。来源进步网www.szjjedu.com
当 ，即 时， ，得 ；
当 ，即 时， ，无解；
当 ，即 时， ，矛盾。
故 。    ……12分
18. 解：(Ⅰ) 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为 ,……………1分
由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是 ，       ……………………3分
则     .                  ……………………6分
(Ⅱ)  的可能取值为0,1,2,3,4,                    ……………………7分
由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为 ，且每个人下电梯互不影响，
∴  ～                       ……………………………9分
∴X的分布列为

0 1 2 3 4


………………11分
∴X的数学期望        …………………………12分
19.（Ⅰ）证明：因为点 是菱形 的对角线的交点，
所以 是 的中点.又点 是棱 的中点，
所以 是 的中位线， .………………1分
因为 平面 , 平面 ,
所以 平面 .      ………………3分
（Ⅱ）解：由题意， ，来源进步网www.szjjedu.com
因为 ，
所以 ， .  …………4分
又因为菱形 ，所以 ， .
建立空间直角坐标系 ，如图所示.
  .
所以
     …6分
设平面 的法向量为  ，
则有 即：
令 ，则 ，所以  .            ………7分
因为 ,所以 平面 .    
平面 的法向量与 平行，
所以平面 的法向量为 .                    …………8分
，
因为二面角 是锐角，
所以二面角 的余弦值为 .   ……………9分
（Ⅲ）解：因为 是线段 上一个动点，设 ， ，
则 ，来源进步网www.szjjedu.com
所以 ，                        ……………10分
则 ， ，
由 得 ，即 ，……11分
解得 或 ，                               
所以 点的坐标为 或 .            ………12分
（也可以答是线段 的三等分点， 或 ）
20. 解：（Ⅰ）将（1，1）与（ ， ）两点代入椭圆C的方程，得 解得 ．
∴椭圆PM2的方程为 ．       ………4分
（Ⅱ）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．
①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时
= ．………6分
同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时
= ．………8分
②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），
则直线OM的方程为 ，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由 解得 ， ，
∴ = ，  ………10分来源进步网www.szjjedu.com
同理 ，     ………11分
所以 =2× + =2，
故 =2为定值．                       ………13分
(2)由(1)知，a＞2.
因为f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋x1－x2x1x2－a(ln x1－ln x2)，
所以，k＝fx1－fx2x1－x2＝1＋1x1x2－a•ln x1－ln x2x1－x2.      ……8分
又由(1)知，x1x2＝1，于是k＝2－a•ln x1－ln x2x1－x2.            ……9分
若存在a，使得k＝2－a，则ln x1－ln x2x1－x2＝1.  来源进步网www.szjjedu.com              ……10分
即ln x1－ln x2＝x1－x2.
由x1x2＝1得x2－1x2－2ln x2＝0(x2＞1)．(*)                 ……11分
再由(1)知，函数h(t)＝t－1t－2ln t在(0，＋∞)上单调递增，而x2＞1，所以x2－1x2－2ln x2＞1－11－2 ln 1＝0.这与(*)式矛盾．故不存在a，使得k＝2－a.        ……14分来源进步网www.szjjedu.com