福建四地(“华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中”)六校

免费下载：福建四地(“华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中”)六校2013-2014学年高二下第一次月考数学(理科)联考试题及参考答案
福建四地(“华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中”)六校2013-2014学年高二下第一次月考数学(理科)联考试题及参考答案
一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）来源进步网www.szjjedu.com
1．复数 ，则它的共轭复数 在复平面内对应的点位于（      ）
A ．第一象限    B．第二象限  C．第三象限  D．第四象限
2．推理：因为平行四边形对边平行且相等，而矩形是特殊的平行四 边形，所以矩形的对边平行且相等．以上推理的方法是（      ）来源进步网www.szjjedu.com
A．合情推理       B．演绎推理        C．归纳推理        D．类比推理
3．在区间 内不是增函数的是（　  　）来源进步网www.szjjedu.com
A.       B.      C.      D. 
4．函数 的图象上一点 处的切线的斜率为（     ）来源进步网www.szjjedu.com
A．－          B．           C． －         D．－
5．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设的内容应为（      ）
A．假设至少有一个钝角       B．假设至少有两个钝角来源进步网www.szjjedu.com
C．假设没有一个钝角         D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
6． 等于（      ）来源进步网www.szjjedu.com
A．      B．2    C．    D．
7．已知复数 且 ，则 的最小值是（  ）
A．      B．      C．      D．
8．函数 的部分图像如图所示，则 的解析式可以是（ ）
   A.  B.   来源进步网www.szjjedu.com   C.     D.  
9. 六个面都是平行四边形的四棱柱称为
平行六面体。如，在平行四边形
中，有 ，
那么在图（2）的平行六面体
中有 等于(  ) 来源进步网www.szjjedu.com      
      
10．对于三次函数 ，定义 是 的导 函数 的导函数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”，可以证明，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：
①任意三次函数 都关于点 对称：
②存在三次函数 , 若 有实数解 ，则点 为函数 的对称中心；
③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；来源进步网www.szjjedu.com
④若函数 ，则: 
其中所有正确结论的序号是(      )．
A. ①②④      B. ①②③      C. ①③④     D. ②③④
二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分)
11．已知 是虚数单位，则 =______▲▲▲_______.
12．由直线 ，曲线 及 轴所围图形的面积为  ▲▲▲         
13．已知函数 有极大值和极小值，则实数 的取值范围是▲   
14．若 上是减函数，则 的最大值是   ▲▲▲     
15．设 表示不超过 的最大整数，如 ．我们发现：
；来源进步网www.szjjedu.com
；
；
．．．．．．．
通过合情推理，写出一般性的结论 ▲▲▲ (用含 的式子表示)
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16．(本题满分13分)
设函数  ，已知曲线 在点 处的切线方程是 ．
（Ⅰ）求 的值；并求出函数的单调区间；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的最值．

17．（本小题满分13分）来源进步网www.szjjedu.com
设数列 满足 ．
（Ⅰ）求 ；
（II）由（I）猜想 的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；

18．(本题满分13分)
已知 ,证明： ，并利用上述结论求
的最小值(其中 ．


19．(本题满分13分) 来源进步网www.szjjedu.com
已知函数 ， , 为自然对数的底数.
（I）求函数 的极值；[来源:学,科,网]
（II）若方程 有两个不同的实数根，试求实数 的取值范围；



20．（本题满分14分）
甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的 处，乙厂到河岸的垂足 与 相距50千米，两厂要在此岸边 之间合建一个供水站 ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3 元和5 元，若 千米，设总的水管费用为 元，如图所示，来源进步网www.szjjedu.com
（I）写出 关于 的函数表达式；
（II）问供水站 建在岸边何处才能使水管费用最省？ 


21．(本小题满分14分)
已知函数 （ ）
（I）讨论函数 的单调性；
（II）若函数 在 处取得极值，不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围；来源进步网www.szjjedu.com
（III）当 时，证明不等式 .


参考答案

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D A B A B C C A
二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分)
11.1+3i    12. 2ln2      13.   或     14.  -1       
15. 
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16. (本题满分13分)
解：（Ⅰ） ， ，
  .                      …………………………3分
，
令 ，得 或 ；令 ，得 [来源:学科网]
  的递增区间为 ，来源进步网www.szjjedu.com
的递减区间为                     ………………7分    
（Ⅱ）由（Ⅰ）知列表得

－1 


1

＋ 0 － 0

-1 递增 极大 递减 -1
由表得当 时，
又 ，
17． 解：（1）由 ，得 ………………2分
由 ，得 ，……………………………4分
由 ，得  ……… ………………6分
（2）由（1）猜想 ……………………………………7分
下面用数学归纳法证明来源进步网www.szjjedu.com
①当 时，  ，猜想成立；………………………8分
②假设 时，猜想成立，即 ，……………9分
那么当 时，
所以当 时，猜想也成立………………12分
由①②知，对于任意 都有猜想成立………………………13分
18．(本题满分13分)
   ………………………………………4 分
  …………………………………………7分
（法二）要证明  [来源:Zxxk.Com]
只要证 …………………2分
即证  ……………………………4分
即证 （显然成立）来源进步网www.szjjedu.com
故原不等式得证…………………………………………………7分
由不等式 成立
知 ，………………10分
即最小值为25，当且仅当 时等号成立。………………………13分
19．解： …………………2分
令 ，解得 或 ，列表如下………………………4分


－4 
0 


＋ 0 － 0 ＋

递增 极大 递减 极小 递增
由表可得当 时，函数 有极大值 ；
当 时，函数 有极小值 ；……………8分来源进步网www.szjjedu.com
（2）由（1）及当 ， ；
，
大致图像为如图（大致即可）
问题“方程 有两个不同的实数根”转化为函数 的图像与 的图像有两个不同的交点，      …………10分
故实数 的取值范围为 .         …………………………………13分
20．解：（1）∵ ，BD=40,AC=50－ ,∴BC=
又总的水管费用为y元，依题意有：来源进步网www.szjjedu.com
=3 (50－x)+5        …………………………6分
（2）由（1）得y′=－3 + ,令y′=0,解得 =30   …………………………………8分
在(0,30)单调递减，在(30,50)单调递增上，………………………11分
函数在 =30(km)处取得最小值，此时AC=50－ =20(km) …………………13分
∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省. ……………14分
21. 解：（1） 函数 的定义域为 ， ………………1分
当 时， ，从而 ，故函数 在 上单调递减……3分
当 时，若 ，则 ，从而 ，
若 ，则 ，从而 ，来源进步网www.szjjedu.com
故函数 在 上单调递减，在 上单调递增；…………………………5分
（2）由（1）得函数 的极值点是 ，故 ………………6分
所以 ，即 ，
由于 ，即 .…………7分来源进步网www.szjjedu.com
令 ，则
当 时， ；当 时，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增；…………………9分
故 ，所以实数 的取值范围为 …………………10分
（3）不等式 ………………11分
构造函数 ，则 ，来源进步网www.szjjedu.com
在 上恒成立，即函数 在 上单调递增，………………13分
由于 ，所以 ，得
故 ………………14分来源进步网www.szjjedu.com